Question

已知拋物線y=2x²和直線y=ax+5．

（1）求證：拋物線與直線一定有兩個不同的交點；

（2）設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）是拋物線與直線的兩個交點，點P是線段AB的中點，且點P的橫坐標為，試用含a的代數式表示點P的縱坐標；

(3)設A，B兩點的距離d=·｜x₁-x₂｜，試用含a的代數式表示d.

Answer 1

答案：
解析：

解：（1）將y=ax+5代入y=2x2，消去y得2x2-ax-5=0， ∵Δ=(-a)2-4×2×(-5)=a2+40>0，∴方程有兩個不相等的實數根． ∴不論a取何值，拋物線與直線一定有兩個不同的交點． （2）∵x1、x2是方程2x2-ax-5=0的兩個根，∴x1+x2=，x1x2=． 點P的縱坐標為(x1+x2)+5=·+5=+5． （3）∵x1+x2=，x1x2=． ∴｜x1-x2｜=. ∴d==.