Question

如圖甲所示， A、B、C、D為固定于豎直平面內的閉合絕緣軌道，AB段、CD段均為半徑R＝1.6m的半圓，BC、AD段水平，AD=BC=8m。B、C之間的區域存在水平向右的有界勻強電場，場強E＝5×10⁵V/m，其余區域沒有電場。質量為m=4×10^-3kg、帶電量q=+1×10^-8C的小環套在軌道上。小環與軌道AD段的動摩擦因數為=0.125，與軌道其余部分的摩擦忽略不計。現使小環在D點獲得沿軌道向左的初速度v₀=4m/s，且在沿軌道DA段運動過程中始終受到方向豎直向上、大小隨速度變化的力F（變化關系如圖乙所示）作用，小環第一次進入半圓軌道AB時在A點對半圓軌道剛好無壓力。不計小環大小，g取10m/s²。求：

（1）小環第一次運動到A時的速度大小；

（2）小環第一次回到D點時速度大小；

（3）若小環經過多次循環運動能達到穩定運動狀態，則到達D點時的速度至少多大？

 

Answer 1

【答案】

（1）4m/s（2）（3）不小于

【解析】根據向心力公式求出A點速度；根據動能定理求出D點速度；先分析各種情況的運動，利用能量關系及動能定理求解。

(1)進入半圓軌道AB時小環僅受重力，在A點由向心力公式得： 

得：             

(2) 小物塊從D出發，第一次回到D的過程，由動能定理得：

                                        

 

(3) 分析：初始位置D點時，若所加力F﹥mg ,則小壞受摩擦力而減速，同時F減小，當

F= mg時勻速，但速度一定小于4m/s;若F﹤mg, 則小壞受摩擦力而減速,同時F越來越小，摩擦力越來越大，小環繼續減速直至靜止，不會到達A點時速度為4m/s，綜上可知小環第一次從D到A做勻速運動。

由圖象知：F=kv=mg

所以，                                    

則可知環與桿的摩擦力f≤μ|F_m－mg|=μmg=qE，              

穩定循環時，每一個周期中損耗的能量應等于補充的能量        

 

而         

所以穩定循環運動時小環在AD段運動時速度一定要大于等于8m/s

即到達A點的速度不小于8m/s                              

穩定循環運動時小環從A到D的過程，由動能定理得：

                               

 

達到穩定運動狀態時，小環到達D點時速度應不小于