Question

11．圖示為賽車場的一個“梨形”水平賽道，兩個彎道分別為半徑R=60m的大圓弧和r=30m的小圓弧，直道與彎道相切．大、小圓弧圓心O、O′距離L=60m．賽車沿彎道路線行駛時，路面對輪胎的最大徑向靜摩擦力是賽車重力的2.25倍，假設賽車在直道上做勻變速直線運動，在彎道上做勻速圓周運動，重力加速度g=10m/s²，要使賽車繞賽道一周用時最短，下列說法正確的是（　　）

• A． 在小圓弧彎道上的速率為15$\sqrt{3}$m/s
• B． 在大圓弧彎道上的速率為30$\sqrt{3}$m/s
• C． 在直道上的加速度大小為$\frac{15\sqrt{3}}{4}$m/s²
• D． 通過大圓弧彎道的時間為$\frac{4π\sqrt{6}}{3}$s

Answer 1

分析 根據牛頓第二定律，結合最大靜摩擦力提供向心力求出在兩個彎道上的最大速度．
賽車在繞過小彎道后加速，根據幾何關系求出直道的距離，結合速度位移公式求出加速度．
根據幾何關系求出大圓弧的長度，結合運動學公式求出在圓弧上的運動時間．

解答 解：A、在彎道上做勻速圓周運動時，根據牛頓定律有：kmg=$m\frac{{{v}_{m}}^{2}}{r}$，
在小彎道上的最大速度為：${v}_{mr}=\sqrt{kgr}=\sqrt{2.25×10×30}$m/s=$15\sqrt{3}$m/s，故A正確；
B、在大圓弧彎道上的速率為：${v}_{mR}=\sqrt{kgR}$=$\sqrt{2.25×10×60}m/s=15\sqrt{6}m/s$．故B錯誤；
C、當彎道半徑一定 時，在彎道上的最大速度是一定的，且在大彎道上的最大速度大于小彎道上的最大速度，故要想時間最短，故可在繞過小圓弧彎道后加速，直道的長度為：$x=\sqrt{{L}^{2}-{（R-r）}^{2}}=\sqrt{6{0}^{2}-（60-30）^{2}}=30\sqrt{3}$m，
故在在直道上的加速度大小為為：$a=\frac{{v}_{mR}^{2}-{v}_{mr}^{2}}{2x}$=$\frac{1350-675}{2×30\sqrt{3}}$=$\frac{15\sqrt{3}}{4}$m/s²，
D、通過大圓弧時間為：${t}_{2}=\frac{\frac{4πR}{3}}{{v}_{mR}}$，代入數據解得：t₂=$\frac{8π\sqrt{6}}{9}$s．故D錯誤．
故選：AC

點評 解答此題的關鍵是由題目獲得條件：①在彎道上由最大靜摩擦力提供向心力②由數學知識求得圓弧的長度，另外還要熟練掌握勻速圓周運動的知識．