Question

據國外某媒體報道，2010年的某一天，一顆西方某國的間諜衛星經過中國西北某軍事訓練基地上空時，突然“失明”近四十分鐘．據該媒體分析，在該間諜衛星通過基地時，一顆在同一軌道上運行的中國反間諜衛星向后噴出一種特殊的高分子膠狀物質，膠狀物質附著在間諜衛星的表面而使衛星“失明”，當膠狀物在真空中揮發后衛星又能重新恢復工作．現已知地球的半徑R=6400km，地球表面處的重力加速度g=10m/s²．假設中國反間諜衛星為一顆總質量M=20kg的微型衛星，衛星在近地軌道上做勻速圓周運動，衛星向后瞬間噴出的膠狀物的質量為1kg，膠狀物相對于地心的速度為零，問：（取

1.66

=1.29，結果保留三位有效數字）
（1）反間諜衛星噴出膠狀物后，衛星的速度變為多少？
（2）理論上，質量為m₀的衛星從半徑為r₁的較低軌道轉移到半徑為r₂的較高軌道的過程中，萬有引力做功W=m₀gR²（

1

r2

-

1

r1

）．現假設經過一段時間后反間諜衛星的運動為勻速圓周運動，則噴出膠狀物后衛星運動的最終軌道半徑為多少？

Answer 1

（1）由于反間諜衛星在近地軌道做勻速圓周運動，萬有引力提供向心力，有：
Mg=M

v 20

R

得：v₀=

gR

　
衛星噴出膠狀物后，由動量守恒得：
Mv₀=（M-m）v₁　
解得：v₁=

M

M-m

v₀=8.42×10³ m/s．
故間諜衛星噴出膠狀物后，衛星的速度變為8.42×10³ m/s．
（2）衛星噴出膠狀物后做離心運動，達到新的圓周軌道的半徑設為r，由動能定理
有：
（M-m）gR²（

1

r

-

1

R

）=

1

2

（M-m）v₂²-

1

2

（M-m）v₁²　
又G

M地?M-m?

r2

=（M-m）

v 22

r

　
GM_地=gR²　
聯立解得：r=7.18×10⁶ m．　
故噴出膠狀物后衛星運動的最終軌道半徑為：r=7.18×10⁶ m．