Question

1．航模興趣小組設計出一架遙控飛行器，其質量m=2kg，動力系統提供的恒定升力F=28N．試飛時，飛行器從地面由靜止開始豎直上升．設飛行器飛行時所受的阻力大小不變且為4N，g取10m/s²．某次試飛，飛行器飛行t₁=6s時遙控器出現故障，飛行器立即失去升力．試求：
（1）飛行器能達到的最大高度h；
（2）為了使飛行器不致墜落到地面，飛行器從開始下落到恢復升力的最長時間t．

Answer 1

分析 （1）失去升力飛行器受重力和阻力作用做勻減速直線運動，當速度減為0時，最大高度等于失去升力前的位移與失去升力后的位移之和；
（2）求飛行器從開始下落時做勻加速直線運動，恢復升力后做勻減速直線運動，為了使飛行器不致墜落到地面，到達地面時速度恰好為0，根據牛頓第二定律以及運動學基本公式即可求得飛行器從開始下落到恢復升力的最長時間．

解答 解：（1）飛行器失去升力前做勻加速直線運動，根據牛頓第二定律有
$F-mg-f=m{a}_{1}^{\;}$
代入數據：$28-2×10-4=2{a}_{1}^{\;}$
解得：${a}_{1}^{\;}=2m/{s}_{\;}^{2}$
${t}_{1}^{\;}=6s$時，速度${v}_{1}^{\;}={a}_{1}^{\;}{t}_{1}^{\;}=2×6m/s=12m/s$
前6s內的位移${x}_{1}^{\;}=\frac{1}{2}{a}_{1}^{\;}{t}_{1}^{2}=\frac{1}{2}×2×{6}_{\;}^{2}=36m$
6s后失去動力，根據牛頓第二定律有
$mg+f=m{a}_{2}^{\;}$
代入數據：$2×10+4=2{a}_{2}^{\;}$
解得：${a}_{2}^{\;}=12m/{s}_{\;}^{2}$
勻減速上升的位移${x}_{2}^{\;}=\frac{{v}_{1}^{2}}{2{a}_{2}^{\;}}=\frac{1{2}_{\;}^{2}}{2×12}=6m$
飛行器能達到的最大高度$h={x}_{1}^{\;}+{x}_{2}^{\;}=36+6=42m$
（2）設失去動力下降階段的加速度為${a}_{3}^{\;}$，根據牛頓第二定律
$mg-f=m{a}_{3}^{\;}$
代入數據：$20-4=2{a}_{3}^{\;}$
解得：${a}_{3}^{\;}=8m/{s}_{\;}^{2}$
恢復升力后向下做勻減速直線運動，根據牛頓第二定律，有
$F+f-mg=m{a}_{3}^{\;}$
代入數據：$28+4-20=2{a}_{4}^{\;}$
解得：${a}_{4}^{\;}=6m/{s}_{\;}^{2}$
開始恢復升力時速度為$v={a}_{3}^{\;}t=8t$
$\frac{{v}_{\;}^{2}}{2{a}_{3}^{\;}}+\frac{{v}_{\;}^{2}}{2{a}_{4}^{\;}}=h$
代入數據：$\frac{（8t）_{\;}^{2}}{2×8}+\frac{（8t）_{\;}^{2}}{2×6}=42$
解得：$t=\frac{3\sqrt{2}}{2}s$
答：（1）飛行器能達到的最大高度h為42m；
（2）為了使飛行器不致墜落到地面，飛行器從開始下落到恢復升力的最長時間t為$\frac{3\sqrt{2}s}{2}$

點評 本題的關鍵是對飛行器的受力分析以及運動情況的分析，結合牛頓第二定律和運動學基本公式求解，本題難度適中．