Question

我國分別于2007年10月24日和2010年10月1日成功發射“嫦娥一號”和“嫦娥二號”月球探測衛星，標志著我國實施繞月探測工程邁出重要一步，在政治、經濟、軍事、科技乃至文化領域都具有非常重大的意義，同學們也對月球有了更多的關注．
（1）若已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，月球繞地球運動的周期為T，月球繞地球的運動近似看做勻速圓周運動，試求出月球繞地球運動的軌道半徑r₁；
（2）若將來我國的宇航員隨登月飛船登陸月球后，宇航員在月球表面完成下面實驗：在一固定的豎直光滑圓弧軌道內部最低點靜止一質量為m的小球（可視為質點）如圖所示，現給小球一瞬間水平速度V，小球剛好能在豎直面內做完整的圓周運動．已知圓弧軌道半徑為r，月球的半徑為R_O，萬有引力常量為G，試求出月球的質量M_月．

Answer 1

分析：（1）月球繞地球運轉，萬有引力定律提供向心力；對地球表面物體m有G

Mm

R2

=mg，聯立方程即可求解；
（2）設月球表面重力加速度為g₁，小球在最高點的速度為v₁，由機械能守恒定律列出方程，小球剛好能在豎直面內做完整的圓周運動，重力提供向心力，聯立方程即可求解．

解答：解：（1）月球繞地球運轉，萬有引力定律提供向心力：
G

M月M

r12

=M月(

2π

T

)2r1①
對地球表面物體m：G

Mm

R2

=mg②
聯立①②解得：r₁=

3	gR2T2 4π2

（2）設月球表面重力加速度為g₁，小球在最高點的速度為v₁，由機械能守恒定律，小球在從最低點到最高點的過程中，有：

1

2

mV2=2mg1r+

1

2

m

V

2 1

③
由題意，小球在最高點時，有：mg1=m

V 2 1

r

④
聯立③④解得：g1=

V2

5r

⑤
G

M月m

R02

=mg1⑥
聯立⑤⑥解得：M月=

R 2 0 V2

5Gr

答：（1）月球繞地球運動的軌道半徑r₁為

3	gR2T2 4π2

；
（2）月球的質量M_月為

R 2 0 V2

5Gr

．

點評：該題主要考查了天體運動向心力公式及機械能守恒定律，要注意黃金代換式G

Mm

R2

=mg的應用，難度適中．