Question

（2005?上海模擬）密度大于液體的固體顆粒，在液體中豎直下沉，開始時是加速下沉，但隨著下沉速度變大，固體所受的阻力也變大，故下沉到一定深度后，固體顆粒是勻速下沉的．
該實驗是研究球形固體顆粒在水中豎直勻速下沉的速度與哪些量有關(guān)，實驗數(shù)據(jù)的記錄如下表：（水的密度為ρo=1.0×103kg/m3)

次序	1	2	3	4	5	6	7
固體球的半徑r（m）	0.5×10-3	1.0×10-3	1.5×10-3	0.50×10-3	1.0×10-3	0.50×10-3	1.0×10-3
固體的密度ρ（kg/m3）	2.0×103	2.0×103	2.0×103	3.0×103	3.0×103	4.0×103	4.0×103
（p-p0）kg/m3	1.0×103	1.0×103	1.0×103	2.0×103	2.0×103	3.0×103	3×103
勻速下沉的速度v（m/s）	0.55	2.20	4.95	1.10	4.40	1.65	6.60

（1）根據(jù)以上實驗數(shù)據(jù)，請你推出球形固體在水中勻速下沉的速度v與r的關(guān)系為

v∝r²

；以及v與ρ的關(guān)系為

v∝（ρ-ρ₀）

．
我們假定下沉速度v與實驗處的重力加速度g成正比，即v∝g．由此可知，球形固體在水中勻速下沉的速度v與g、ρ、r的關(guān)系為

v=k(ρ-ρ0)r2g

．（只要求寫出關(guān)系式，比例系數(shù)可用k表示）．
（2）對勻速下沉的固體球作受力分析：固體球受到浮力（浮力的大小等于排開液體的重力）、重力（球體積公式以v=

4

3

πr3計算）、勻速下沉?xí)r球受到的阻力f．試寫出f與v及r的關(guān)系式（分析和推導(dǎo)過程不必寫）；f=

4πrv

3k

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)分析可知：球形固體在水中勻速下沉的速度與固體球的半徑和密度均有關(guān)系，我們可以采用控制變量法來確定另一物理量與速度的關(guān)系，最終得出速度與固體球的半徑與密度的確切關(guān)系；
（2）固體球在水中最后在勻速直線運動，受力平衡，其受重力、浮力以及水的阻力，三力平衡解出阻力與速度及半徑的關(guān)系．

解答：解：（1）從表格中次序為1、2、3或4、5或6、7的各行中可以看出，固體顆粒密度相同，固體球的半徑r越大則勻速下沉的速度v越大，而且勻速下沉的速度與固體顆粒的半徑平方成正比，設(shè)球形固體顆粒的半徑為r，密度為ρ，在水中勻速下降的速度為v．由題意知v∝g．由控制變量法容易得出：當(dāng)ρ一定時，比如：從表格中次序為1、2、3或4、5或6、7的各行可以得出結(jié)論：v∝r²． 從表格中的1、4、6或2、5、7各行可以看出固體球的半徑r相同，固體的密度ρ越大則勻速下沉的速度v越大，即即勻速下沉的速度與固體顆粒的密度有關(guān)．
但是表格中的1、4、6或2、5、7各行，當(dāng)r一定時v和ρ的關(guān)系難以立即判斷．因此需要換個角度考慮．我們可以觀察，當(dāng)r一定時，在每個ρ值后都減去1.0×10³kg/m³（即水的密度）得到的數(shù)值與v成正比．即：
    v∝（ρ-ρ₀），則：v=kgr²（ρ-ρ₀）．
（2）勻速下沉?xí)r，由平衡條件可知重力等于固體球所受的浮力加球所受的阻力，所以：mg=ρ₀

4

3

πr3g+f，
把固體球的質(zhì)量 m=ρ

4

3

πr3代入上式，結(jié)合v=kgr²（ρ-ρ₀），
解得：f=

4πrv

3k

故答案為：（1）v∝r²，v∝（ρ-ρ₀），v=k(ρ-ρ0)r2g
（2）

4πrv

3k

點評：此題實驗中判斷速度與各物理量間的關(guān)系時因為有兩個變量，所以我們應(yīng)當(dāng)用控制變量法來判斷速度與另一物理量的關(guān)系．