Question

如圖所示，A、B是兩塊豎直放置的平行金屬板，相距為2L，分別帶有等量的負、正電荷，在兩板間形成電場強度大小為E的勻強電場．A板上有一小孔（它的存在對兩板間勻強電場分布的影響可忽略不計），孔的下沿右側有一條與板垂直的水平光滑絕緣軌道，一個質量為m，電荷量為g（g＞0）的小球（可視為質點），在外力作用下靜止在軌道的中點P處．孔的下沿左側也有一與板垂直的水平光滑絕緣軌道，軌道上距A板L處有一固定檔板，長為L的輕彈簧左端固定在擋板上，右端固定一塊輕小的絕緣材料制成的薄板Q．撤去外力釋放帶電小粒，它將在電場力作用下由靜止開始向左運動，穿過小孔后（不與金屬板A接觸）與薄板Q一起壓縮彈簧，由于薄板Q及彈簧的質量都可以忽略不計，可認為小球與Q接觸過程中不損失機械能．小球從接觸Q開始，經歷時間To第一次把彈簧壓縮至最短，然后又被彈簧彈回．由于薄板Q的絕緣性能有所欠缺，使得小球每次離開Q瞬間，小球的電荷量都損失一部分，而變成剛與Q接觸時小球電荷量的

1

k

（k＞1）求：
（l）小球第一次接觸Q時的速度大小；
（2）假設小球第n次彈回兩板間后向右運動的最遠處沒有到達B板，試導出小球從第n次接觸Q，到本次向右運動至最遠處的時間Tn的表達式；
（3）若k=2，且小孔右側的軌道粗糙與帶電小球間的滑動摩擦力為f=

qE

4

，試求帶電小球最終停止的位置距P點的距離．

Answer 1

（1）設小球第一次接觸Q的速度為v，接觸Q前的加速度為a．
根據牛頓第二定律有 qE=ma                                   
對于小球從靜止到與Q接觸前的過程，根據運動學公式有v²=2al    
聯立解得v=

2qEL m

              
（2）小球每次離開Q的速度大小相同，等于小球第一次與Q接觸時速度大小
v=

2qEL m

                        
設小球第n次離開Q向右做減速運動的加速度為a_n，速度由v減為零
所需時間為t_n，小球離開Q所帶電荷量為q_n，則
q_nE=ma_n   
t_n=

v

an

                                      
q_n=

q

kn

                               
聯立解得t_n=

mv

qE

kn                              
小球從第n次接觸Q，到本次向右運動至最遠處的時間
T_n=2T₀+

2mL qE

kⁿ，
（3）假設小球第1次彈回兩板間后向右運動最遠距A板距離為L₁，則
（qE-f）L-（

qE

k

+f）L₁=0       
即L₁=L              
假設小球第2次彈回兩板間后向右運動最遠距A板距離為L₂，則
（qE-f）L-2fL₁-（

qE

k2

+f）L₂=0
即L₂=

1

2

L          
又因此時電場力F=

qE

k2

=

qE

4

=f，即帶電小球可保持靜止
帶電小球最終停止的位置距P點的距離L₃為
L₃=L-

L

2

=

L

2

 
答：（l）小球第一次接觸Q時的速度大小是

2qEL m

；
（2）小球從第n次接觸Q，到本次向右運動至最遠處的時間Tn的表達式是T_n=2T₀+

2mL qE

kⁿ；
（3）帶電小球最終停止的位置距P點的距離是

L

2

．