Question

如圖所示，四個豎直的分界面間的距離分別為L、L和d，在分界面M₁N₁-M₃N₃之間存在水平向里的勻強磁場，在分界面M₂N₂-M₄N₄之間存在水平向左的勻強電場，一傾角為30°的光滑斜面，其上、下端P₁和P₂正好在分界面上．一質量為m，帶電荷量為q的小球在P₁點由靜止開始沿斜面下滑（電荷量不變），重力加速度為g．
（1）求小球運動到斜面底端P₂時的速度v大小
（2）已知小球離開斜面底端P₂后，做直線運動到分界面M₃N₃上的P₃點，求空間電場強度E和磁感應強度B．的大��；
（3）已知d足夠大，小球離開P₃點后將從P₄點再次經過M₃N₃面，求P₃和P₄兩點間的距離h．

Answer 1

分析：（1）小球在斜面上下滑的過程中只有重力做功，根據動能定理可求滑至斜面底端的速度大小；
（2）根據小球做直線運動，因為存在磁場故只能做勻速直線運動，根據合力為零由平衡條件求解；
（3）離開P₃時，小球所受合力與速度方向垂直，故小球做類平拋運動，根據類平拋運動知識求解P₃P₄兩點間的距離

解答：解：（1）小球在斜面上運動時受重力支持力和洛倫茲力作用，因為支持力和洛倫茲力都速度方向垂直不做功，固合外力做即為重力做功，根據運動定理有：
mgLtan30°=

1

2

mv2-0
解得：v=

2 3 gL 3

（2）小球從P₂到P₃點做直線運動，因為重力和電場力均為恒力，而F_洛=qvB只能是做勻速直線運動，所受合力為零，由平衡條件有：
qE=qBvsin30°             ①
mg=qBvcos30°             ②
聯立①②解處：E=

3 mg

3q

，B=

m

q

2g 3 L

（3）由（2）分析知，從P₂到P₃點做直線運動，合力為零，因為洛倫茲力始終與速度方向垂直，所以重力和電場力的合力與速度方向垂直．
所以小球從P₃到P₄點做類平拋運動，在P₃點速度為v，沿P₂P₃方向做勻速運動，與此方向垂直的方向為勻加速運動，則：

小球做類平拋運動的加速度為a，則有：

mg

cos30°

=ma
得a=

2g

3

hsin30°=vt
hcos30°=

1

2

at2
代入數據得：h=4

3

L
答：（1）小球運動到斜面底端P₂時的速度v=

2 3 gL 3

（2）已知小球離開斜面底端P₂后，做直線運動到分界面M₃N₃上的P₃點，求空間電場強度E和磁感應強度B的大小為B=

m

q

2g 3 L

；
（3）已知d足夠大，小球離開P₃點后將從P₄點再次經過M₃N₃面，P₃和P₄兩點間的距離h=4

3

L．

點評：洛倫茲力始終與速度垂直，對粒子始終不做功，在重力場和電場以及磁場復合場中做直線運動，粒子只能做勻速直線運動．能根據類平拋運動的條件判斷物體在電場和重力場作用下做類平拋運動是解決本題的關鍵．