Question

13．假設在半徑為R的某天體上發射一顆該天體的衛星，若這顆衛星在距該天體表面高度為h的軌道做勻速圓周運動，周期為T，已知萬有引力常量為G，求：
（1）該天體的質量；
（2）該天體的密度．

Answer 1

分析 （1）衛星做勻速圓周運動，萬有引力提供向心力，根據牛頓第二定律列式求解；
（2）根據密度的定義求解天體密度；

解答 解：（1）衛星做勻速圓周運動，萬有引力提供向心力，根據牛頓第二定律，
有：$G\frac{Mm}{（R+h）_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}（R+h）$
得M=$\frac{4{π}_{\;}^{2}（R+h）_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$
（2）根據$ρ=\frac{M}{V}$，$V=\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}$，聯立解得$ρ=\frac{3π（R+h）_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}$
答：（1）該天體的質量$\frac{4{π}_{\;}^{2}（R+h）_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$；
（2）該天體的密度$\frac{3π（R+h）_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{2}}$

點評 本題關鍵是明確衛星做圓周運動時，萬有引力提供向心力，而地面附近重力又等于萬有引力，基礎問題．