Question

（2008?江蘇模擬）已知地球半徑為R，一個靜止在赤道上空的熱氣球（不計氣球離地高度）繞地心運動的角速度為ω₀，一顆人造地球衛星的圓形軌道距地面高度為h，地球質量、熱氣球質量和人造地球衛星和質量分別用M、m和m₁表示，M、m、m₁及引力常量G為未知量，根據上述條件，有位同學列出經下一兩個式子：對熱氣球有

GMm

R2

=m

ω

2 0

R，對人造地球衛星有

GMm1

(R+h)2

=m1ω2(R+h)．該同學利用上面兩個式子解出了人造地球衛星繞地球運行的角速度ω．你認為這個同學的解法是否正確？若認為正確，請算出結果，若認為不正確，請說明理由，并補充一個條件后，再求出ω（要求分三次補充不同的條件求解）．

Answer 1

分析：靜止在赤道上空的熱氣球受重力和浮力處于平衡，繞地心運動所需的向心力不是由萬有引力提供，是萬有引力與浮力的合力提供向心力．所以該同學的解法是錯誤的．

解答：解：第一個等式不正確，因為熱氣球靜止在空中是因為浮力與重力平衡，它受到地球的引力并不等于它繞地心運動的向心力．
（1）若補充地球表面的重力加速度g，認為熱氣球受到的萬有引力近似等于其重力，
則有

GMm

R2

=mg
與題中第二個等式聯立可得ω=

R

R+h

g R+h

（2）若利用同步衛星的高度H有

GMm/

(R+h)2

=m/

ω

2 0

(R+h)，
與題中第二個等式聯立可得ω=ω0(

R+H

R+h

)

3

2

（3）若利用第一宇宙速度v₁  
根據萬有引力提供向心力，有

GMm/

R2

=

m/ v 2 1

R

與題中第二個等式聯立可得ω=v1

R (R+h)3

答：第一個等式不正確，若補充地球表面的重力加速度g，ω=

R

R+h

g R+h

若補充同步衛星的高度H，ω=ω0(

R+H

R+h

)

3

2

若補充第一宇宙速度v₁，ω=v1

R (R+h)3

．

點評：本題考查了萬有引力在天體中的應用，解題的關鍵在于找出向心力的來源，并能列出等式解題．
要注意熱氣球受地球的引力并不等于它繞地心所需的向心力．