Question

11．物理學家依據物理規律，可以計算天體的質量和第一宇宙速度．已知：萬有引力常量G，地球的半徑R，地球表面的重力加速度g．則：
（1）請根據所給的已知數據，計算地球的質量；
（2）請根據所給的已知數據，計算地球的第一宇宙速度；
（3）木星與地球一樣也是繞太陽公轉的行星之一，而木星的周圍也有衛星繞木星公轉．如果要通過觀測求得木星的質量，需要測量哪些量？試推導用這些量表示的木星質量的計算式．

Answer 1

分析 （1）根據已知量，地球表面的物體受到的重力等于萬有引力可求出地球的質量；
（2）近地衛星的萬有引力提供向心力，可以求出第一宇宙速度；
（3）根據木星的某個衛星的萬有引力等于向心力，列式求解即可求出木星的質量．

解答 解：（1）質量為m的物體在地球表面受到的重力近似等于萬有引力
即：$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$
解得：$M=\frac{g{R}_{\;}^{2}}{G}$
（2）地表飛行的衛星向心力由重力提供
即：$mg=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$     
解得$v=\sqrt{gR}$
（3）測量木星的衛星繞木星作圓周運動的軌道半徑與周期，
由：$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$
得：$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$（軌道半徑與線速度，軌道半徑與角速度，線速度角速度均可）   
答：（1）地球的質量為$\frac{g{R}_{\;}^{2}}{G}$；
（2）地球的第一宇宙速度$\sqrt{gR}$；
（3）木星與地球一樣也是繞太陽公轉的行星之一，而木星的周圍也有衛星繞木星公轉．如果要通過觀測求得木星的質量，需要測量測量木星的衛星繞木星作圓周運動的軌道半徑與周期，木星的質量$\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$

點評 解答此題要清楚地球表面的物體受到的重力等于萬有引力，地球近地衛星所受的萬有引力提供向心力．