Question

2．如圖甲所示，長為L、間距為d的兩金屬板A、B水平放置，ab為兩板的中心線，一個帶電粒子以速度v₀從a點水平射入，沿直線從b點射出，粒子質量為m，電荷量為q．若將兩金屬板接到如圖乙所示的交變電壓上，欲使該粒子仍能從b點以速度v₀射出，求：
（1）交變電壓的周期T應滿足什么條件；
（2）粒子從a點射入金屬板的時刻應滿足什么條件．

Answer 1

分析 （1）根據題意可知，周期的整數倍應與水平飛出時的時間相等；
（2）分析粒子在豎直方向上的運動情況，明確粒子在做往復運動，只需豎直方向的位移等0即可．

解答 解：帶電粒子進入電場后，開始時在電場中做類平拋運動，水平方向的速度保持不變，豎直方向做初速度為0的勻加速直線運動．
當電場的方向改變后，粒子在豎直方向做減速運動．若粒子在t=0時刻進入電場，其速度圖線隨時間的變化關系如圖：

若要帶電粒子經過一定的時間后從與a在同一條水平線上的b點，仍然以入射速度v₀穿出電場，則需要粒子在豎直方向的位移等于0，顯然，在t=0時刻粒子進入電場是不可能通過b點的．
由圖可知，粒子的加速度的大小是不變的，加速與減速的過程是對稱的，若粒子是在t不等于0的任意時刻進入電場，其速度隨時間的變化如圖2，

經過n個周期運動后，粒子的豎直方向的分速度是0，但是，只有在橫坐標上方的速度圖線與時間軸圍成的面積與橫坐標下方的速度圖線與時間軸圍成的面積相等時，粒子在豎直方向的位移才等于0．這種情況下粒子第一段加速的時間是$\frac{1}{4}T$，所以粒子進入電場的時刻對應電場的$\frac{1}{4}T$，$\frac{3}{4}T$，$\frac{5}{4}T$，…即：t=$\frac{n}{2}T+\frac{T}{4}$，n取正整數．
設經過n個周期運動后，能平行金屬板射出，
則nT=$\frac{L}{{v}_{0}}$，T=$\frac{L}{n{v}_{0}}$．
n可取正整數．
答：（1）交流電壓的周期T應滿足的條件是T=$\frac{L}{n{v}_{0}}$，n取正整數；
（2）粒子從a點射入金屬板的時刻應滿足的關系是：t=$\frac{n}{2}T+\frac{T}{4}$，n取正整數．

點評 本題考查帶電粒子在電場中運動的規律，要注意明確粒子在電場中的運動過程，特別是豎直方向上的運動分析．