Question

宇宙中有一星球的質量約為地球質量的9倍，半徑約為地球半徑的一半．若在地球上h高處水平拋出一物體，射程是60m，設在地球的第一宇宙速度約為8km/s，試求：
（1）則在該星球上，從同樣高度以同樣的初速度水平拋出同一物體，射程是多少？
（2）至少以多大的速度拋出，物體才不會落回該星球的表面？

Answer 1

分析：（1）根據萬有引力等于重力，得出星球與地球的重力加速度之比，根據平拋運動的知識得出水平位移，通過重力加速度的關系得出水平位移的關系，從而得出在星球上平拋運動物體的射程．
（2）第一宇宙速度等于貼近星球表面做勻速圓周運動的速度，是最小的發射速度，根據萬有引力提供向心力，得出星球和地球的第一宇宙速度之比，從而求出在星球上物體拋出的速度，以至于物體不會落回該星球的表面．

解答：解：（1）物體做平拋運動時，有：
水平位移x=v₀t                                       
豎直位移h=

1

2

g t2
mg =G

Mm

R 2

解得x=v0

2hR2 GM

所以，

x星

x地

=

R 2 星 R 2 地 ? M地 M星

=

( 1 2 )2×( 1 9 )

=

1

6

x星=

1

6

x地=10m                                      
（2）發射環繞星球表面運行的飛行物時，有

GmM

R 2

=m

v 2

R

所以，ν=

GM R

由此可得，

ν星

ν地

=

M星 M地 ? R地 R星

即：v_星=

M星 M地 ? R地 R星

?v_地=24

2

m/s
答：（1）在該星球上，從同樣高度以同樣的初速度水平拋出同一物體，射程是10m．
（2）以24

2

m/s的速度拋出，物體才不會落回該星球的表面．

點評：解決本題的關鍵掌握萬有引力提供向心力和萬有引力等于重力這兩個理論，并能熟練運用．