Question

7．如圖所示，相距3L的AB、CD兩直線間的區域存在著兩個大小不同．方向相反的有界勻強電場，其中PT上方的電場Ⅰ的場強方向豎直向下，PT下方的電場Ⅱ的場強方向豎直向上，電場Ⅰ的場強大小是電場Ⅱ的場強大小的兩倍，在電場左邊界AB上有點Q，PQ間距為L，從某時刻起由Q點以初速度v₀沿水平方向垂直射入勻強電場的帶電粒子，電量為+q、質量為m，通過PT上的某點R進入勻強電場Ⅰ后從CD邊上的M點水平射出，其軌跡如圖，不計粒子的重力，試求：
（1）勻強電場Ⅰ的電場強度的大小和MT之間的距離；
（2）有一邊長為a、由光滑絕緣壁圍成的正方形容器，在其邊界正中央開有一小孔S，將其置于CD右側，從M點射出的粒子沿直線經S孔水平射入容器中．欲使粒子在容器中與器壁多次垂直碰撞后仍能從S孔射出（粒子與絕緣壁碰撞時無能量和電量損失），并返回Q點，在容器中現加上一個如圖所示的勻強磁場，粒子運動的半徑小于a，磁感應強度B的大小還應滿足什么條件？

Answer 1

分析 （1）粒子在兩電場中做類平拋運動，由圖可得出粒子在兩電場中的運動情況；分別沿電場方向和垂直電場方向列出物理規律，聯立可解得電場強度的大小及MT間的距離；
（2）粒子進入磁場時做圓周運動，由題意可知其運動的臨界半徑值，再由牛頓第二定律可求得磁感應強度．

解答 解：（1）設粒子經PT直線上的點R由E₂電場進入E₁電場，
由Q到R及R到M點的時間分別為t₂與t₁，到達R時豎直速度為v_y，
由牛頓第二定律得：F=qE=ma，
由位移公式得：2L=v₀t₂，L=v₀t₁，L=$\frac{1}{2}$a₂t₂²=$\frac{1}{2}$×$\frac{q{E}_{2}}{m}$×t₂²，
v_y=$\frac{q{E}_{2}}{m}$t₂=$\frac{q{E}_{1}}{m}$t₁，MT=$\frac{1}{2}$$\frac{q{E}_{1}}{m}$t₁²，
解得：E₁=2E₂，E₁=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{qL}$，MT=$\frac{1}{2}$L；
（2）欲使粒子仍能從S孔處射出，粒子的運動軌跡可能是如圖甲、乙所示的兩種情況，
對圖甲所示的情形，粒子運動的半徑為R₁，則：R₁=$\frac{a}{2（2n+1）}$，n=0、1、2、…
由牛頓第二定律得：qv₀B₁=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{{R}_{1}}$，
解得：B₁=$\frac{2（2n+1）m{v}_{0}}{qa}$，n=0、1、2、3…
對圖乙所示的情形，粒子運動的半徑為R₂，則：R₂=$\frac{a}{4k}$，k=1、2、…
由牛頓第二定律得：qv₀B₂=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{{R}_{2}}$，
解得：B₂=$\frac{4km{v}_{0}}{qa}$，k=1、2、3…
綜合B₁、B₂得：B=$\frac{2Nm{v}_{0}}{qa}$，N=1、2、3…
答：（1）勻強電場Ⅰ的電場強度的大小為$\frac{m{v}_{0}^{2}}{qL}$，MT之間的距離為$\frac{1}{2}$L；
（2）磁感應強度B的大小應滿足什么條件是B=$\frac{2Nm{v}_{0}}{qa}$，N=1、2、3…．

點評 本題考查了帶電粒子在電場與磁場中的運動，要掌握帶電粒子在電場磁場中的運動規律，在電場中利用幾何關系得出其沿電場．和垂直于電場的運動規律；而在磁場中也是要注意找出相應的幾何關系，從而確定圓心和半徑．