Question

在“極限”運動會中，有一個在鋼索橋上的比賽項目．如圖所示，總長為L的均勻粗鋼絲繩固定在等高的A、B處，鋼絲繩最低點與固定點A、B的高度差為H，動滑輪起點在A處，并可沿鋼絲繩滑動，鋼絲繩最低點距離水面也為H．若質量為m的人抓住滑輪下方的掛鉤由A點靜止滑下，最遠能到達右側C點，C、B間鋼絲繩相距為L′=

L

10

，高度差為h=

H

3

．若參賽者在運動過程中始終處于豎直狀態，抓住滑輪的手與腳底之間的距離也為h，滑輪與鋼絲繩間的摩擦力大小視為不變，且摩擦力所做功與滑過的路程成正比，不計參賽者在運動中受到的阻力、滑輪（含掛鉤）的質量和大小，不考慮鋼索橋的擺動及形變．

（1）滑輪與鋼絲繩間的摩擦力是多大？
（2）若參賽者不依靠外界幫助要到達B點，則人在A點處抓住掛鉤時至少應該具有多大的初動能？
（3）比賽規定參賽者須在鋼絲繩最低點脫鉤并到達與鋼絲繩最低點水平相距為4a、寬度為a，厚度不計的海綿墊子上．若參賽者由A點靜止滑下，會落在海綿墊子左側的水中．為了能落到海綿墊子上，參賽者在A點抓住掛鉤時應具有初動能的范圍？

Answer 1

分析：（1）從A點靜止滑下，最遠能滑到C點，可知C點的速度為0．對A到C過程運用動能定理，有重力做功，摩擦力做功，動能的變化為0，求出摩擦力．
（2）對A到B運用動能定理，重力不做功，摩擦力做負功，根據動能定理求出初動能．
（3）參賽者在鋼絲繩最低點脫鉤后，做平拋運動，根據平拋運動的水平位移4a≤x≤5a，求出最低點的速度范圍，然后對A到最低點運用動能定理，求出在A點初動能的范圍．

解答：解：（1）根據動能定理，參賽者在A到C的過程中滿足mgh-F_f（L-L'）=0
將L′=

L

10

，h=

H

3

代入，
可得滑輪與鋼絲繩間的摩擦力Ff=

10mgH

27L

①
（2）根據動能定理，參賽者在A到B的過程中滿足-F_fL=0-E_k0
將①式代入，得Ek0=

10

27

mgH②
（3）參賽者落到海綿墊的過程是平拋運動．設人脫離鋼索時的速度為v，運動的水平位移為s，則s=vt③，(H-h)=

1

2

gt2④
由題知，s=4a時，參賽者具有的最小速度為vmin=

2a

H

3gH

⑤
s=5a時，參賽者具有的最大速度為vmax=

5a

2H

3gH

⑥
設參賽者在A點抓住掛鉤的初動能為E_k．由動能定理，參賽者在A到鋼索最低點運動過程中滿足 mgH-Ff

L

2

=

1

2

mv2-Ek⑦
由此可得，參賽者在A點抓住掛鉤的最小和最大初動能分別為Emin=

6mga2

H

-

22

27

mgH，Emax=

75mga2

8H

-

22

27

mgH
即初動能范圍為

6mga2

H

-

22

27

mgH≤E≤

75mga2

8H

-

22

27

mgH⑧

點評：解決本題的關鍵是恰當地選擇研究過程，根據動能定理W_合=△E_K進行求解．