Question

V一探險隊員在探險時遇到一山溝，山溝的一側豎直，另一側的坡面呈拋物線形狀．此隊員從山溝的豎直一側，以速度v₀沿水平方向跳向另一側坡面．如圖所示，以溝底的O點為原點建立坐標系Oxy．已知，山溝豎直一側的高度為2h，坡面的拋物線方程為y=

1

2h

x²，探險隊員的質量為m．人視為質點，忽略空氣阻力，重力加速度為g．
（1）求此人落到坡面時的動能；
（2）此人水平跳出的速度為多大時，他落在坡面時的動能最小？動能的最小值為多少？

Answer 1

分析：（1）由平拋運動規律列出等式．由整個過程中根據由動能定理求解
（2）根據動能的表達式應用數學方法求解．

解答：解：（1）設探險隊員跳到坡面上時水平位移為x，豎直位移為H，
由平拋運動規律有：x=v₀t，H=

1

2

gt2，
整個過程中，由動能定理可得：mgH=E_K-

1

2

m

v

2 0

由幾何關系，y=2h-H
坡面的拋物線方程y=

1

2h

x²
解以上各式得：E_K=

1

2

m

v

2 0

+

2mg2h2

v 2 0 +gh

（2）由E_K=

1

2

m

v

2 0

+

2mg2h2

v 2 0 +gh

令

v

2 0

=ngh，則E_K=

n

2

mgh+

2mgh

n+1

=mgh（

n

2

+

2

n+1

）
當n=1時，即

v

2 0

=gh，
探險隊員的動能最小，最小值為E_min=

3mgh

2

v₀=

gh

答：（1）此人落到坡面時的動能是

1

2

m

v

2 0

+

2mg2h2

v 2 0 +gh

；
（2）此人水平跳出的速度為

gh

時，他落在坡面時的動能最小，動能的最小值為

3mgh

2

點評：本題主要考查平拋運動和動能定理的應用，以及函數最值的計算，意在考查考生的綜合分析及數學計算能力．