Question

如圖所示，質量為m的由絕緣材料制成的球與質量為M=19m的金屬球并排懸掛．現將絕緣球拉至與豎直方向成θ=60°的位置自由釋放，下擺后在最低點與金屬球發生彈性碰撞．在平衡位置附近存在垂直于紙面的磁場．已知由于磁場的阻尼作用，金屬球將于再次碰撞前停在最低點處．求經過幾次碰撞后絕緣球偏離豎直方向的最大角度將小于45°．

Answer 1

設小球m的擺線長度為l
小球m在下落過程中與M相碰之前滿足機械能守恒：mgl(1-cosθ)=

1

2

mv02①
m和M碰撞過程是彈性碰撞，故滿足：
mv₀=MV_M+mv₁ ②

1

2

mv02=

1

2

mv12+

1

2

MVM2  ③
聯立 ②③得：v1=

m-M

m+M

v0  ④
說明小球被反彈，且v₁與v₀成正比，而后小球又以反彈速度和小球M再次發生彈性碰撞，滿足：
mv₁=MV_M1+mv₂ ⑤

1

2

mv12=

1

2

mv22+

1

2

MVM12⑥
解得：
v2=

m-M

m+M

|v1| ⑦
整理得：
v2=-(

m-M

m+M

)2v0⑧
故可以得到發生n次碰撞后的速度：
vn=|(

m-M

m+M

)nv0|⑨
而偏離方向為45⁰的臨界速度滿足：
mgl(1-cos450)=

1

2

mv臨界2⑩
聯立①⑨⑩代入數據解得，當n=2時，v₂＞v_臨界
當n=3時，v₃＜v_臨界
即發生3次碰撞后小球返回到最高點時與豎直方向的夾角將小于45°．