Question

3．一客車從靜止開始以加速度a做勻加速直線運動的同時，在車尾的后面離車頭x遠的地方有一乘客以某一恒定速度v正在追趕這輛客車，已知司機從車頭反光鏡內能看到離車頭的最遠距離為x₀（即人離車頭距離超過x₀，司機不能從反光鏡中看到該人），同時司機從反光鏡中看到該人的像必須持續時間在t₀內才能注意到該人，這樣才能制動客車使車停下來，該乘客要想乘坐上這輛客車，追趕客車勻速運動的速度v，求：
（1）乘客的速度v所滿足的條件（用題中的字母表示）；
（2）若a=1.0m/s²，x=30m，x₀=20m，t₀=4.0s，求v的最小值．

Answer 1

分析 設乘客經過t時間與客車車頭的位移為s₀，通過位移關系求出運動的時間，時間有兩個值，在這兩個時間之間，乘客與客車車頭的位移小于s₀，則兩個時間之差要保證大于等于t₀，根據該關系求出乘客速度的最小值

解答 解：（1）從客車由靜止開始運動計時，經過時間t，則
客車前進x₁=$\frac{1}{2}$at²
乘客前進x₂=vt
由題意x₁+x-x₂=x₀
整理得$\frac{1}{2}$at²+x-vt-x₀=0
解得：t=$\frac{{v±\sqrt{{v^2}-2a（x-{x_0}）}}}{a}$
即：t₁=$\frac{{v-\sqrt{{v^2}-2a（x-{x_0}）}}}{a}$，
t₂=$\frac{{v+\sqrt{{v^2}-2a（x-{x_0}）}}}{a}$
因司機看到乘客的像必須持續t₀時間才能注意到乘客，所以t₂-t₁≥t₀
即：t=t₂-t₁=$\frac{{v+\sqrt{{v^2}-2a（x-{x_0}）}}}{a}$-$\frac{{v-\sqrt{{v^2}-2a（x-{x_0}）}}}{a}$=$\frac{{2\sqrt{{v^2}-2a（x-{x_0}）}}}{a}$≥t₀
所以  v≥$\sqrt{2a（x-{x_0}）+\frac{1}{4}{{（a{t_0}）}^2}}$
（2）代入數值得：v≥$\sqrt{2×1.0×（30-20）+\frac{1}{4}×{{（1.0×4.0）}^2}}$m/s=2$\sqrt{6}$ m/s=4.9 m/s
所以乘客追趕客車的最小速度為4.9 m/s．
答：（1）乘客的速度v所滿足的條件為v≥$\sqrt{2a（x-{x_0}）+\frac{1}{4}{{（a{t_0}）}^2}}$
（2）若a=1.0m/s²，x=30m，x₀=20m，t₀=4.0s，v的最小值為4.9m/s

點評 該題屬于運動學中的較難題，關鍵抓住乘客經過時間t與客車車頭的位移為s₀，還要注意乘客與客車車頭位移在s₀之內的時間差大于等于t₀