Question

我國成功地發射了“嫦娥一號”探月衛星．衛星進入地球軌道后還需要對衛星進行10次點火控制．前4次點火，讓衛星不斷變軌加速，當衛星加速到v_o=11.0km/s的速度時進入地月轉移軌道向月球飛去．后6次點火的主要作用是修正飛行方向和被月球捕獲時的緊急剎車，最終把衛星送入離月面h=200km高的工作軌道（可視為勻速圓周運動）．已知地球質量是月球質量的81倍，月球和地球的半徑分別為：R_月=1800km，R_地=6400km，衛星質量為2350kg，地球表面重力加速度g=10m/s²，引力恒量G=6.67×10^-11N?m²/kg²．求：（結果保留一位有效數字）
（1）地球的質量．
（2）衛星從離開地球軌道進入地月轉移軌道最終穩定在離月球表面h=200km的工作軌道上外力對它做了多少功？（忽略地球自轉及月球繞地球公轉的影響）

Answer 1

分析：1、忽略地球自轉，地球表面的物體受到的重力等于萬有引力mg=G

Mm

R地2

，代入數據可以計算地球的質量．
2、衛星繞月球運動，萬有引力提供向心力G

M月m

(R月+h)2

=m

v2

R月+h

，得v=

GM月 R月+h

，代入數據計算衛星的速度．根據動能定理：W=

1

2

mv2-

1

2

mv02，代入數據計算即可．

解答：解：（1）忽略地球自轉，地球表面的物體受到的重力等于萬有引力mg=G

Mm

R地2

，得M=

gR地2

G

=

10×(6400×103)2

6.67×10-11

kg=6.14×10²⁴kg
（2）衛星離月球表面h=200km的工作軌道上，萬有引力提供向心力G

M月m

(R月+h)2

=m

v2

R月+h

，
得v=

GM月 R月+h

=

6.67×10-11× 1 81 ×6.14×1024 (1800+200)×103

=1590m/s
根據動能定理：W=

1

2

mv2-

1

2

mv02=

1

2

×2350×(15902-110002)J=-1.39×10¹¹J
答：（1）地球的質量為6.14×10²⁴kg．
（2）衛星從離開地球軌道進入地月轉移軌道最終穩定在離月球表面h=200km的工作軌道上外力對它做了-1.39×10¹¹J功．

點評：本題主要考查動能定理和天體運動結合的問題，要主要根據萬有引力提供向心力計算出衛星繞月的速度，在運用動能定理計算，難度不大，計算要小心．