Question

如圖所示，在水平軌道右側安放半徑為R的豎直圓槽形光滑軌道，水平軌道的PQ段鋪設特殊材料，調節其初始長度為l．水平軌道左側有一輕質彈簧左端固定，彈簧處于自然伸長狀態．小物塊A（可視為質點）從軌道右側以初速度v₀沖上軌道，通過圓形軌道、水平軌道后壓縮彈簧并被彈簧以原速率彈回，經水平軌道返回圓形軌道．已知R=0.2m，l=1.0m，v₀=2

3

m/s，物塊A質量為m=1kg，與PQ段間的動摩擦因數為μ=0.2，軌道其他部分摩擦不計，取g=10m/s²．求：

（1）物塊A與彈簧剛接觸時的速度大小．
（2）物塊A被彈簧以原速率彈回返回到圓形軌道的高度．
（3）調節PQ段的長度l，A仍以v₀從軌道右側沖上軌道，當l滿足什么條件時，A物塊能第一次返回圓形軌道且能沿軌道運動而不會脫離軌道．

Answer 1

分析：（1）對B從初始位置到與A碰撞前過程運用動能定理，求出物塊B與物塊A碰撞前的速度大小．
（2）根據動量守恒定律求出碰撞后的速度，根據動能定理求出AB整體能夠上升的高度，并討論能否達到此高度．
（3）A、B物塊能返回圓形軌道且能沿軌道運動而不會脫離軌道，要么能夠越過圓軌道的最高點，要么在圓軌道中上升的高度不要超過圓軌道的半徑，結合動能定理、動量守恒定律和牛頓第二定律求出l所滿足的條件．

解答：解：（1）物塊A沖上圓形軌道后回到最低點速度為v₀=2

3

m/s，
與彈簧接觸瞬間，-μmgl=

1

2

m

v

2 1

-

1

2

m

v

2 0

，
可得，物塊A與彈簧剛接觸時的速度大小v1=2

2

m/s；
（2）A被彈簧以原速率v₁彈回，向右經過PQ段，
有

v

2 2

-

v

2 1

=-2μgl；解得A速度 v₂=2m/s，
A滑上圓形軌道，有-mgh=0-

1

2

m

v

2 2

，
（也可以應用 -μ×mgl-mgh=

1

2

m

v

2 2

-

1

2

m

v

2 1

）
可得，返回到右邊軌道的高度為h=0.2m=R，符合實際．
（3）物塊A以v₀沖上軌道直到回到PQ段右側，
有v

′

2 1

-

v

2 0

=-2μg×2l，
可得，A回到右側速度：v

′

2 1

=(12-8l)(m/s)2，
要使A能返回右側軌道且能沿軌道運動而不脫離軌道，則有：
①若A沿軌道上滑至最大高度h時，速度減為0，則h滿足：0＜h≤R，
根據機械能守恒：

1

2

mv

′

2 1

=mgh聯立可得，1.0m≤l＜1.5m；
②若A能沿軌道上滑至最高點，則滿足：

1

2

mv

′

2 1

=mg×2R+

1

2

mv

′

2 2

且m

v ′ 2 2

R

≥mg，
聯立得 l≤0.25m，綜上所述，要使A物塊能第一次返回圓形軌道并沿軌道運動而不脫離軌道，
l滿足的條件是1.0m≤l＜1.5m或 l≤0.25m；
答：（1）物塊A與彈簧剛接觸時的速度大小為2

2

m/s．
（2）物塊A被彈簧以原速率彈回返回到圓形軌道的高度0.2m．
（3）A物塊能第一次返回圓形軌道且能沿軌道運動而不會脫離軌道的條件是：1.0m≤l＜1.5m或 l≤0.25m．

點評：本題綜合考查了動量守恒定律、動能定理、牛頓第二定律，以及知道小球不脫離圓軌道的條件，綜合性較強，對學生的能力要求較高，需加強訓練．