Question

【題目】一根直徑的樹干平放在水平的地面上．一只懶惰的蚱蜢（視為質(zhì)點(diǎn)）想跳過樹干，求蚱蜢滿足條件的最小離地速度（空氣阻力忽略不計(jì)）．

Answer 1

【答案】

【解析】

當(dāng)蚱蜢以最小的速度起跳時(shí)，其運(yùn)動(dòng)軌跡（拋物線）應(yīng)以過木棍圓心的豎直線為對稱軸（軸），且運(yùn)動(dòng)軌跡應(yīng)與木棍相切，但目前還不清楚切點(diǎn)是否是木棍的最高點(diǎn)．如圖所示．

蚱蜢從點(diǎn)以速度起跳，起跳的方向與水平方向成角，在切點(diǎn)處，蚱蜢的速度為，與水平方向成角，顯然，與是相關(guān)聯(lián)的，為了討論方便，選擇為獨(dú)立變量．

將速度與作圖示的分解．

蚱蜢從到有

． ①

在點(diǎn)，有． ②

蚱蜢從到有， ③

． ④

上述式中為木棍的半徑，為蚱蜢從從到的時(shí)間．

聯(lián)立上述各式解得，，

所以，．

上式中，當(dāng)時(shí)取“＝”號，即當(dāng)時(shí)，有最小值．

此時(shí)蚱蜢的起跳角滿足：．

而，．所以，．