Question

（2006?薊縣模擬）如圖所示，MN、PQ是兩塊水平放置且長度相同的平行金屬板，板間存在磁感應強度為B=1.25T的圓形勻強磁場，圓與兩金屬板相切．以圓上一點O為原點建立xoy直角坐標系，兩板左端M、P在y軸上，圓與y軸的交點為α，Oα=0.2m．質量為m=5×10^-8kg、帶電量為q=10^-5C的粒子從α點垂直y軸射入磁場，MN、PQ兩板間的電壓為0時，粒子的射入速度為v₁，從b點射出磁場，速度方向與x軸成60°角；MN、PQ兩板間的電壓為U時，粒子以50m/s的速度射入磁場，在磁場中速度方向保持不變，并且粒子恰能從上板邊緣離開電場，此后粒子做勻速直線運動．已知粒子的重力大小不計．求：
（1）圓形磁場區的半徑大小為多少？
（2）v₁的大小為多少？
（3）MN、PQ兩板間的電壓U為多少？
（4）粒子離開電場后做勻速直線運動的速度大小為多少？方向如何？

Answer 1

分析：（1）粒子在磁場中做勻速圓周運動，根據幾何知識定出軌跡圓心，求出圓形磁場區的半徑；
（2）由上題，求出粒子的軌跡半徑，根據牛頓第二定律求速度v₁的大小；
（3）兩板間加電壓U時，粒子速度方向不變，粒子所受電場力與洛倫茲力二力平衡，由平衡條件列式求出U；
（4）粒子從c點離開磁場后在電場力作用下做類平拋運動，水平方向做勻速直線運動，豎直方向向上做勻加速運動，由動能定理求粒子離開電場后做勻速直線運動的速度．

解答：解：（1）如圖所示，設粒子在磁場中做勻速圓周運動的圓心為d，因為粒子從b點射出磁場的速度方向與x軸成60°角，則∠adb=60°，三角形adb為等邊三角形，粒子做圓周運動的半徑為R=ad=0.4m------①
ab=ad=0.4m，因為∠aob=90°
所以ab為圓形磁場的直徑，磁場區的半徑大小為r=0.2m------②
（2）洛倫茲力提供向心力   qv₁B=m

v 2 1

R

-------③
解得 v₁=100m/s---------④
（3）兩板間加電壓U時，粒子速度方向不變，粒子所受電場力與洛倫茲力為一對平衡力，
   Eq=Bqv-----------⑤
 又U=E?ab
解得，U=25V---------⑥
（4）粒子從c點離開磁場后在電場力作用下做類平拋運動，水平方向速度不變，豎直方向向上做勻加速運動，
 

1

2

mv_y²=

1

2

mv²-

1

2

mv_x²=

1

4

Uq=6.25×10^-5J---------⑦
 

1

2

mv_x²=

1

2

×5×10^-8kg×（50m/s）²=6.25×10^-5J-----------⑧
解得，v_y=v_x=50m/s--------------⑨
所以粒子離開電場后做勻速直線運動的速度大小為v=50

2

m/s，方向為與水平面成45°角向右上．----⑩
答：
（1）圓形磁場區的半徑大小為0.2m．
（2）v₁的大小為100m/s．
（3）MN、PQ兩板間的電壓U為25V．
（4）粒子離開電場后做勻速直線運動的速度大小為50

2

m/s，方向為與水平面成45°角向右上．

點評：本題關鍵要分析粒子的運動過程，充分利用好幾何關系，運用力學知識處理．