Question

如圖，在空間中有一坐標系xOy，其第一象限內充滿著兩個勻強磁場區域Ⅰ和Ⅱ，直線OP是它們的邊界．區域Ⅰ中的磁感應強度為B，方向垂直紙面向外；區域Ⅱ中的磁感應強度為2B，方向垂直紙面向里，邊界上的P點坐標為(4L,3L)．一質量為m，電荷量為q的帶正電荷的粒子從P點平行于y軸負方向射入區域Ⅰ；經過一段時間后，粒子恰好經過原點O.忽略粒子重力，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.求：

(1)粒子從P點運動到O點的時間至少為多少？

(2)粒子的速度大小可能是多少？

Answer 1

解析：(1)設粒子的入射速度為v，用R₁、R₂，T₁、T₂分別表示粒子在磁場Ⅰ區和Ⅱ區中運動的軌道半徑和周期．則

qvB＝m①

2qvB＝m②

T₁＝＝③

T₂＝＝④

粒子先在磁場Ⅰ區中做順時針的圓周運動，后在磁場Ⅱ區中做逆時針的圓周運動，然后從O點射出，這樣粒子從P點運動到O點所用的時間最短．粒子運動軌跡如圖所示．

tan α＝＝0.75⑤

得α＝37°

α＋β＝90°⑥

粒子在磁場Ⅰ區和Ⅱ區中的運動時間分別為

t₁＝T₁⑦

t₂＝T₂⑧

粒子從P點運動到O點的時間至少為t＝t₁＋t₂⑨

由以上各式解得t＝.⑩

(2)粒子的速度大小滿足一定條件時，粒子先在磁場Ⅰ區中運動，后在磁場Ⅱ區中運動，然后又重復前面的運動，直到經過原點O，這樣粒子經過n個周期性的運動后經過O點，每個周期的運動情況相同，粒子在一個周期內的位移為

x＝＝/n＝(n＝1,2,3…)

粒子每次在磁場Ⅰ區中運動的位移為x₁＝x＝x

由圖中幾何關系可知＝cos α

由以上各式解得粒子的速度大小為v＝(n＝1、2、3…)．

答案：(1)　(2)(n＝1、2、3…)