Question

如圖甲所示，兩平行金屬板長度l=0.2m，兩板間電壓U隨時間t變化的圖象如圖乙所示．在金屬板右側有一左邊界為MN的勻強磁場，磁感應強度B=0.01T，方向垂直紙面向里．現有帶正電的粒子連續不斷地以速度v₀=10⁵m/s射入電場中，初速度方向沿兩板間的中線OO′方向．磁場邊界MN與中線OO′垂直．已知帶電粒子的比荷q/m=10⁸C/kg，粒子的重力和粒子之間的相互作用力均可忽略不計．

（1）在每個粒子通過電場區域的時間內，可以把板間的電場強度看作是恒定的．請通過計算說明這種處理的合理性；
（2）設t=0.1s時刻射入電場的帶電粒子恰能從金屬板邊緣穿越電場射入磁場，求該帶電粒子射出電場時速度的大小；
（3）對于所有經過電場射入磁場的帶電粒子，設其射入磁場的入射點和從磁場射出的出射點間的距離為d，試通過推理判斷d的大小是否隨時間變化？

Answer 1

分析：（1）粒子在垂直電場方向做勻速直線運動，求出粒子在電場中的運動時間，與電壓變化的周期比較確定電場強度能視為恒定．
（2）根據偏轉的電壓得出出射點和入射點間的電壓，根據動能定理求出粒子射出電場時的速度大小．
（3）抓住粒子在垂直電場方向上的速度不變，根據平行四邊形定則求出粒子進入磁場時的速度，通過半徑公式和幾何關系求出進入磁場的入射點和出射點的距離，從而進行判斷．

解答：解：（1）帶電粒子在金屬板間運動的時間為
  t=

l

v0

=

0.2

105

s=2×10^-6s
電壓U變化周期 T=0.2s；
由于t遠小于T，故在粒子通過電場的時間內板間電壓變化極小，板間電場可視為恒定不變．
（2）t=0.1s時刻偏轉電壓 U=100V
由動能定理得：

1

2

qU=

1

2

m

v

2 1

-

1

2

m

v

2 0

解得：v₁=1.41×10⁵m/s
（3）設某時刻射出電場的粒子速度為v，速度方向與OO′夾角為θ，則
 v=

v0

cosθ

粒子在磁場中有 qvB=

mv2

R

由幾何關系得：d=2Rcosθ
由以上各式解得：d=

2mv0

qB

=0.2m
顯然d不隨時間變化．
答：
（1）在每個粒子通過電場區域的時間內，可以把板間的電場強度看作是恒定的．計算說明見上；
（2）該帶電粒子射出電場時速度的大小為1.41×10⁵m/s；
（3）d不隨時間變化．

點評：本題考查帶電粒子在電場中的偏轉和在磁場中做圓周運動，掌握在電場中運動時在沿電場方向和垂直磁場方向上的運動規律，以及掌握在磁場中運動的半徑公式，結合幾何關系進行求解．