Question

6．如圖所示，質量為M的長滑塊靜置于光滑的水平桌面上，一質量可忽略的彈簧固定在滑塊左端，彈簧的勁度系數為k，滑塊右端用一不可伸長的細繩固定在豎直墻上，細繩能承受的最大拉力為 T₀，一質量為m、初速為v₀（其方向水平向左）的小物體在滑塊上無摩擦地向左滑動，最終與彈簧相碰并壓縮彈簧．已知彈簧彈性勢能E_p=$\frac{1}{2}$kx²（x為彈簧的形變量）試求：
（1）使細繩斷裂的小物體的最小初速度v₀₁；
（2）細繩斷裂后滑塊獲得的最大加速度a_M；
（3）小物體離開滑塊時相對桌面的速度為零的條件．

Answer 1

分析 （1）細繩恰好被拉斷時，細繩的拉力恰好等于T₀，根據胡克定律求出彈簧的壓縮量．在彈簧被壓縮的過程中，物塊的動能轉化為彈簧的彈性勢能，由機械能守恒求解物體的最小初速度v₀₁；
（2）細繩斷裂后彈簧壓縮過程，彈力變大，加速度變大，當小物體與滑塊具有共同速度時，彈簧壓縮量最大，彈力最大，滑塊的加速度最大，由動量守恒定律求出共同速度，由能量守恒定律求出彈簧的壓縮量，再由牛頓第二定律求出最大的加速度a_M；
（3）小物體離開滑塊時相對桌面的速度為零時，此時彈簧為原長，由物體機械能守恒和動量守恒求解即可．

解答 解：（1）設細繩被拉斷時彈簧的壓縮量為x₀，則x₀由下式決定：
   kx₀=T₀
為使彈簧壓縮到彈簧力 kx₀等于或大于T₀，小物的初始動能必須滿足：
   $\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$≥$\frac{1}{2}k{x}_{0}^{2}$              
即要求小物的初速度 v₀≥$\frac{{T}_{0}}{\sqrt{mk}}$                 
（2）設v₀滿足上述條件，則細繩將被拉斷，設細繩被拉斷時小物的速度為v₁，取小物、彈簧、滑塊組成物體系，則從小物以v₀開始滑動到細繩被拉斷，物體系機械能守恒，即有       $\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$+$\frac{1}{2}k{x}_{0}^{2}$          
注意，因細繩剛被拉斷時，滑塊尚未獲得速度（速度為零），式中的x₀應滿足下式
   x₀=$\frac{{T}_{0}}{k}$                       
由以上兩式，解出  v₁=$\sqrt{{v}_{0}^{2}-\frac{{T}_{0}^{2}}{mk}}$           
細繩被拉斷后，由小物，彈簧，滑塊組成的上述物體系不受外力（重力與支持力抵消），故動量守恒，機械能也守恒．當彈簧壓縮量最大時，施予滑塊的彈簧力也最大，從而滑塊獲得的加速度也最大．此時小物與滑塊相對靜止，具有共同的速度（相對桌面），設為v₂．根據物體系動量守恒，取細繩剛被拉斷為初態，取滑塊獲得最大加速度，即小物體與滑塊具有共同速度v₂為終態，在終態彈簧具有最大壓縮量，設為x，則有
   mv₁=（m+M）v₂
  $\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=$\frac{1}{2}$（m+M）v₂²+$\frac{1}{2}k{x}^{2}$                   
有以上五式，解出  kx=$\sqrt{\frac{m}{m+M}（kM{v}_{0}^{2}+{T}_{0}^{2}）}$           
故滑塊獲得的最大加速度a為
  a=$\frac{kx}{M}$=$\frac{1}{M}$$\sqrt{\frac{m}{m+M}（kM{v}_{0}^{2}+{T}_{0}^{2}）}$       
（3）設小物被彈離彈簧時速度為零（相對桌面），設此時滑塊的速度為v_M，此時彈簧為原長，由物體機械能守恒和動量守恒，取小物剛被彈離彈簧（速度為零）為終態，則有
     $\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=$\frac{1}{2}$Mv_M²；
及    mv₁=Mv_M       
由以上兩式及前面的v₁，解出  v₀=$\frac{{T}_{0}}{\sqrt{（m-M）k}}$
為使小物相對桌面的速度為零離開滑塊，v₀應滿足的條件就是上式，上式還要求m＞M，否則無解．
答：
（1）使細繩斷裂的小物體的最小初速度v₀₁是$\frac{{T}_{0}}{\sqrt{mk}}$．
（2）細繩斷裂后滑塊獲得的最大加速度a_M是$\frac{1}{M}$$\sqrt{\frac{m}{m+M}（kM{v}_{0}^{2}+{T}_{0}^{2}）}$．      
（3）小物體離開滑塊時相對桌面的速度為零的條件是v₀=$\frac{{T}_{0}}{\sqrt{（m-M）k}}$（m＞M）．

點評 本題是系統動量守恒和機械能守恒的綜合應用，要挖掘所隱含的臨界條件：細繩被拉斷剛好被拉斷時，細繩的拉力達到最大．小物體與滑塊具有共同速度時，滑塊的加速度最大．