Question

16．如圖所示，水平地面上固定一個光滑軌道ABC，該軌道由兩個半徑均為R的$\frac{1}{4}$圓弧AB、BC平滑連接而成，O₁、O₂分別為兩段圓弧所對應的圓心，O₁O₂的連線豎直，O₁D是一傾角為45°的虛線，現將一質量為m的小球（可視為質點）由軌道上P點（圖中未標出）靜止釋放，重力加速度為g，求：
（1）P點至少距離地面多高，小球可在B點脫離軌道；
（2）在（1）問的條件下求小球落地時的速度大小；
（3）P點距離地面多高，小球運動軌跡恰好與O₁D線相切．

Answer 1

分析 （1）先對從P到B過程，根據動能定理列式求出小球通過B點的速度表達式．小球在B點脫離軌道時，軌道對小球沒有支持力，由重力提供向心力，根據牛頓第二定律和向心力列式，再聯立求解；
（2）小球從B點做平拋運動，根據平拋運動的特點求的落地速度
（3）考慮臨界情況，擊中D點，平拋的水平分位移為2R，豎直分位移為R，先根據平拋運動的分運動公式列式；再根據動能定理列式，最后聯立求解

解答 解：依題得：
（1）小球在B點恰好脫離有：$mg=\frac{m{v}^{2}}{R}$                              
小球從P點到B點過程：$mg{h}_{1}=\frac{1}{2}m{v}^{2}$                           
由上二式可得：${h}_{1}=\frac{R}{2}$                                          
則P點離地的高度：${H}_{1}={h}_{1}+R=\frac{3R}{2}$                              
（2）水平方向${v}_{x}=\sqrt{gR}$                                      
豎直方向${v}_{y}=\sqrt{2gR}$                                           
則$v=\sqrt{3gR}$                                                
（3）運動軌跡和建立坐標如右圖所示，
y方向上為類豎直上拋運動：
$-2gcos45°Rcos45°=0-（{v}_{0}cos45°）^{2}$                           
小球從P點到B點過程$mg{h}_{2}=\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}$                             
由上二式可得：h₂=R                                           
則P點離地的高度：H₂=h₂+R=2R   
答：（1）P點至少距離地面$\frac{3R}{2}$，小球可在B點脫離軌道；
（2）在（1）問的條件下小球落地時的速度大小為$\sqrt{3gR}$；
（3）P點距離地面2R，小球運動軌跡恰好與O₁D線相切

點評 本題關鍵是明確球的運動情況，把握小球恰好可擊中O₁D線的條件：速度與O₁D線相切．能夠結合平拋運動分運動公式、向心力公式、牛頓第二定律、動能定理列式求解