Question

（2007?揚州模擬）一質量為m的黏性小球，用長為L的細繩掛在一與木塊固定在一起的小立柱上，如圖所示，木塊和立柱的總質量為M，放在水平桌面上，桌面與木塊的動摩擦因數為μ．現將小球拉到水平位置后靜止釋放，與小立柱碰撞后立即粘在小立柱上，設小球在下擺過程中木塊不移動．
（1）求碰撞后小球、立柱、木塊系統移動的距離；
（2）求小球下擺的過程中，重力的最大功率．

Answer 1

分析：（1）小球在下擺過程中木塊不移動，小球的機械能守恒，由機械能守恒求出碰撞前小球的速度．碰撞過程，時間極短，系統所受的外力可忽略，系統水平方向動量守恒，根據動量守恒求出碰后的速度，再由動能定理列式求出系統移動的距離．
（2）重力的功率等于重力與豎直分速度的乘積，小球下擺的過程中，豎直分速度從零增大再到零，重力功率先增大后減小，則當小球在豎直方向上的加速度為零，即豎直方向上受力平衡，豎直方向上的分速度最大，根據機械能守恒定律、牛頓第二定律和功率公式結合求解．

解答：解：（1）碰撞前瞬間，設小球速度為v，則機械能守恒，得：
   mgl=

1

2

mv2
碰撞過程中，系統受的外力沖量很小，可忽略不計，則系統水平方向動量守恒：
  mv=（m+M）v′
解得：v′=

m

m+M

2gl

   
然后，系統在f作用下減速，由動能定理得：
-μ（m+M）gs=0-

1

2

(m+M)v′2   
則解出最大位移s=

m2l

μ(m+M)2

     
（2）設小球擺至細繩與水平方向夾角為θ，如圖，設此時小球速度為v，
由機械能守恒得：mglsinθ=

1

2

mv2，得v=

2glsinθ

  ①
由牛頓第二定律得：
  T-mgsinθ=m

v2

l

 ②
重力的功率最大，就是小球在豎直方向上的分速度最大，此時小球在豎直方向上的加速度為零，即豎直方向上受力平衡，所以
 Tsinθ=mg ③
聯立①解得：sinθ=

3

3

故重力的最大功率：P=mgvcosθ=mg

2glsinθ

cosθ=

2mg

3

3 gl

答：
（1）碰撞后小球、立柱、木塊系統移動的距離為

m2l

μ(m+M)2

；
（2）小球下擺的過程中，重力的最大功率為

2mg

3

3 gl

．

點評：本題是復雜的力學綜合題，把握每個過程的物理規律是基礎，關鍵分析出重力功率最大的條件：豎直方向上受力平衡，也可以采用函數法，由機械能守恒定律和重力的瞬時功率公式得到重力功率與θ的關系式，再求極值．