Question

（22分）如圖所示，AB是兩塊豎直放置的平行金屬板，相距為2L，分別帶有等量的正、負電荷，在兩板間形成電場強度大小為E的勻強電場。A板上有一小孔（它的存在對兩板間勻強電場分布的影響可忽略不計），孔中有一條與板垂直的水平光滑絕緣軌道，一個質量為m，電荷量為q(q>0)的小球（可視為質點），在外力作用下靜止在軌道的中點P處。一自然長度為L的輕彈簧左端固定在距A板左側L處擋板上，右端固定一塊輕小的絕緣材料制成的薄板Q。撤去外力釋放帶電小球，它將在電場力作用下由靜止開始向左運動，穿過小孔后（不與金屬板A接觸）與薄板Q一起壓縮彈簧，由于薄板Q及彈簧的質量都可以忽略不計，可認為小球與Q接觸過程中不損失機械能。小球從接觸Q開始，經過一段時間第一次把彈簧壓縮至最短，然后又被彈簧彈回。由于薄板Q的絕緣性能有所欠缺，使得小球每次離開Q瞬間，小球的電荷量都損失一部分，而變成剛與Q接觸時小球電荷量的1/k (k>l)。求：

(l)彈簧第一次壓縮到最左邊時的彈性勢能；

(2)小球在與B板相碰之前，最多能與薄板Q碰撞多少次；

(3)設A板的電勢為零，當k=2、且小孔右側的軌道粗糙與帶電小球間的滑動摩擦力F_J=時，求帶電小球初、末狀態的電勢能變化量。

Answer 1

（22分）

（1）當P由靜止開始釋放到彈簧第一次壓縮到最左邊的過程中根據能的轉化和守恒定律可得彈性勢能：E_P=qEL（6分）

（2）分析知：小球每次離開Q時的速度大小相同，等于小球第一次與Q接觸時速度大小v，根據動能定理可得：qEL=（2分）

設小球與薄板Q碰撞n次后恰好向右運動到B板，則：q_n(2分)

小球與薄板Q碰撞n次后向右運動從與Q分離到恰好到達B板的過程中，根據動能定理可得：-（2分）

由以上幾式可得：（或取的整數）（2分）

（3）設小球第一次彈回兩板間后向右運動最遠距A板的距離為L₁，則：

（2分）

設小球第2次彈回兩板間后向右運動最遠距A板的距離為L₂，則：

（2分）

而此時電場力：，即帶電小球可保持靜止。（2分）

所以帶電小球初、末狀態的電勢能變化量：（2分）