Question

16．如圖為某自動投放器的示意圖，其下半部AB是一長為R的豎直管道，上半部BC是半徑為R的四分之一圓弧光滑軌道，AB管內有一原長為R、下端固定的輕質彈簧．投放時，若將彈簧長度壓縮了0.5R后鎖定，在彈簧上端放置一個可視為質點且質量為m的小球，解除鎖定，彈簧可將小球彈射出去．當小球到達頂端C時，對軌道壁的壓力恰好為零，不計一切阻力，且鎖定和解除鎖定時，均不改變彈簧的彈性勢能．已知重力加速度為g，求：
（1）小球到達頂端C時的速度大小v₁；
（2）彈簧壓縮了0.5R時的彈性勢能E_p1；
（3）若將彈簧壓縮了0.6R時，彈簧彈性勢能為E_p2=$\frac{36}{25}$E_p1，小球落地點離OO′的水平距離s是多少？

Answer 1

分析 （1）魚餌到達管口C時做圓周運動的向心力完全由重力提供，有牛頓第二定律列出向心力的方程，速度可求．
（2）不計魚餌在運動過程中的機械能損失，所以魚餌增加的機械能都是彈簧做功的結果，由功能關系知道彈簧具有的彈性勢能等于魚餌增加的機械能．
（3）分別求出質量是m和的魚餌離開C時的速度，再利用平拋運動規律求出落到水平面到轉軸之間的距離．

解答 解：（1）質量為m的魚餌到達管口C時做圓周運動的向心力，完全由重力提供，
則mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$    …①
由①式解得：v₁=$\sqrt{gR}$    …②
（2）從彈簧釋放到最高點C的過程中，彈簧的彈性勢能全部轉化為魚餌的機械能，由系統的機械能守恒定律有 
E_P=mg（0.5R+R）+$\frac{1}{2}$mv₁²    …③
由②③式解得：E_p=2mgR…④
（3）設其到達管口C時速度大小為v₂，由機械能守恒定律得：
E_P2=mg（0.6R+R）+$\frac{1}{2}$mv₂²      …⑤
魚餌離開管口C后做平拋運動，設經過t時間落到水面上，離OO'的水平距離為x，由平拋運動規律有：x=v₂t+R…⑥
h=2R=$\frac{1}{2}$gt²   ⑦
由⑤⑥⑦式解得：x=4.2R
答：（1）魚餌到達管口C時的速度大小$\sqrt{gR}$；
（2）彈簧壓縮到0.5R時的彈性勢能為2mgR；
（3）小球落地點離OO′的水平距離是4.2R．

點評 本題考查了圓周運動最高點的動力學方程和平拋運動規律以及機械能守恒定律的應用，轉軸轉過90°魚餌在水平面上形成圓周是解決問題的關鍵，同時要注意正確分析物理過程，明確各過程中的受力以及功能關系等，即可選擇正確的物理規律求解．