Question

已知地球和冥王星半徑分別為r₁、r₂，繞太陽公轉半徑分別為r₁′、r₂′，公轉線速度分別為v₁′、v₂′，表面重力加速度分別為g₁、g₂，平均密度分別為ρ₁、ρ₂，地球第一宇宙速度為v₁，飛船貼近冥王星表面環繞線速度為v₂，則下列關系正確的是（　　）

• A、

  v1

  v2

  =

  r2 r1

• B、ρ1

  r

  2 1

  v

  2 2

  =ρ2

  r

  2 2

  v

  2 1

• C、

  v1′

  v2′

  =

  r2′ r1′

• D、g₁ r₁²=g2r22

Answer 1

分析：根據萬有引力提供向心力

GMm

r2

=m

v2

r

去求公轉的線速度之比，以及第一宇宙速度之比．
根據萬有引力等于重力求星球表面重力加速度之比．

解答：解：A、根據萬有引力提供向心力：

GMm

r2

=m

v2

r

，v=

GM r

由于不知道地球和天王星的質量比，所以無法求出

v1

v2

，故A錯誤；
B、衛星的萬有引力提供向心力，有：
G

Mm

R2

=m

v2

R

M=ρV
V=

4

3

πR3
聯立得到：

ρR2

v2

=

3

16π

（常數）
故：ρ1

r

2 1

v

2 2

=ρ2

r

2 2

v

2 1

，故B正確；
C、根據萬有引力提供向心力：

GMm

r2

=m

v2

r

，解得：v=

GM r

地球和天王星的公轉半徑之比為r₁′：r₂′，所以公轉速度之比

v1′

v2′

=

r2′ r1′

，故C正確；
D、星球表面的重力加速度g=

GM

r 2

（其中r為星球的半徑），可得gr²=GM，故g₁r₁²=GM_地，g₂r₂²=GM_冥，故g₁r₁²≠g₂r₂²，故D錯誤；
故選：BC．

點評：解決本題的關鍵搞清楚公轉、第一宇宙速度等問題中，誰是中心天體，誰是環繞天體，然后根據萬有引力提供向心力，萬有引力等于重力進行求解．