Question

如圖，傾角為θ的斜面固定．有n個質量都為m的相同的小木塊（可視為質點）放置在斜面上．相鄰兩小木塊間距離都為l，最下端的木塊距底端也是l，小木塊與斜面間的動摩擦因數都為μ．在開始時刻，第一個小木塊從斜面頂端以初速度v₀沿斜面下滑，其余所有木塊都靜止，由于第一個木塊的下滑將依次引起一系列的碰撞．設每次碰撞的時間極短，在每次碰撞后，發生碰撞的木塊都粘在一起運動，直到最后第n個木塊到達底端時，速度剛好為零．已知重力加速度為g．求：
（1）第一次碰撞后小木塊1的速度大小v；
（2）從第一個小木塊開始運動到第一次碰撞后系統損失的機械能△E；
（3）發生一系列碰撞后，直到最后第n個木塊到達底端，在整個過程中，由于碰撞所損失的總機械能△E_總．

Answer 1

（1）設小木塊1碰前的速度為v₁，從開始運動到碰前，
根據動能定理：mglsinθ-μmglcosθ=

1

2

m

v

21

-

1

2

m

v

20

    對小木塊1和2，由動量守恒  mv₁=2mv      
    則有    v=

1

2

v 20 +2gl(sinθ-μcosθ)

  
（2）碰撞前損失的機械能為△E₁=μmglcosθ    
    因碰撞損失的機械能為   △E2=

1

2

m

v

21

-

1

2

?2mv2    
   則有△E=△E₁+△E₂=

1

4

m

v

20

+

1

2

mgl(sinθ-μcosθ)
   （3）對n個木塊碰撞的全過程
    重力做的總功     W_G=mglsinθ（1+2+3+…+n）=

n(n+1)

2

mglsinθ
    克服摩擦做的總功
      W_f=μmglcosθ（1+2+3+…+n）=

n(n+1)

2

μmglcosθ      
    根據功與能的關系   WG+

1

2

m

v

20

=Wf+△E總   
     由以上各式求出   △E總=

1

2

m

v

20

+

n(n+1)

2

mgl（sinθ-μcosθ）    
答：（1）第一次碰撞后小木塊1的速度大小 v=

1

2

v 20 +2gl(sinθ-μcosθ)

；
（2）從第一個小木塊開始運動到第一次碰撞后系統損失的機械能△E=△E₁+△E₂=

1

4

m

v

20

+

1

2

mgl(sinθ-μcosθ)；
（3）發生一系列碰撞后，直到最后第n個木塊到達底端，在整個過程中，由于碰撞所損失的總機械能  △E總=

1

2

m

v

20

+

n(n+1)

2

mgl（sinθ-μcosθ）．