Question

如圖所示，A為位于一定高度處的質量為m、帶電荷量為+q的小球，B為位于水平地面上的質量為M的用特殊材料制成的長方形空心盒子，且M=2m，盒子與地面間的動摩擦因數μ=0.2，盒內存在著豎直向上的勻強電場，場強大小E=2mg/q，盒外沒有電場。盒子的上表面開有一略大于小球的小孔，孔間距滿足一定的關系，使得小球進出盒子的過程中始終不與盒子接觸。當小球A以1m/s的速度從孔1進入盒子的瞬間，盒子B恰以v₁=6 m/s的初速度向右滑行。已知盒子通過電場對小球施加的作用力與小球通過電場對盒子施加的作用力大小相等、方向相反。設盒子足夠長，取重力加速度g=10m/s²，小球恰能順次從各個小孔進出盒子，且不與盒子底部相碰。試求：
（1）小球A從第一次進入盒子到第二次進入盒子所經歷的時間；
（2）盒子上至少要開多少個小孔，才能保證小球始終不與盒子接觸；
（3）從小球第一次進入盒子至盒子停止運動的過程中，盒子通過的總路程。

Answer 1

解：（1）A在盒子內運動時，
      由以上兩式得：a＝g
      A在盒子內運動的時間
      A在盒子外運動的時間
      A從第一次進入盒子到第二次進入盒子的時間
（2）小球在盒子內運動時，盒子的加速度
      小球在盒子外運動時，盒子的加速度
      小球運動一個周期盒子減少的速度為
      從小球第一次進入盒子到盒子停下，小球運動的周期數為
      故要保證小球始終不與盒子相碰，盒子上的小孔數至少為2n+1個，即11個
（3）小球第一次在盒內運動的過程中，盒子前進的距離為
      小球第一次從盒子出來時，盒子的速度
      小球第一次在盒外運動的過程中，盒子前進的距離為
      小球第二次進入盒子時，盒子的速度
      小球第二次在盒子內運動的過程中，盒子前進的距離為
      小球第二次從盒子出來時，盒子的速度 
      小球第二次在盒外運動的過程中，盒子前進的距離為
      分析上述各組數據可知，盒子在每個周期內通過的距離為一等差數列，公差d＝0.12m。且當盒子停下時，小球恰要進入盒內，最后0.2s內盒子通過的路程為0.04m。所以從小球第一次進入盒子至盒子停止運動的過程中，盒子通過的總路程為