Question

如圖所示為一種獲得高能粒子的裝置．環形區域內存在垂直紙面向外、大小可調節的勻強磁場．質量為m、電量為+q的粒子在環中做半徑為R的圓周運動．A、B為兩塊中心開有小孔的極板．原來電勢都為零，每當粒子飛經A板時，A板電勢升高為+U，B板電勢仍保持為零，粒子在兩板間電場中得到加速．每當粒子離開B板時，A板電勢又降為零．粒子在電場一次次加速下動能不斷增大，而繞行半徑不變．
（1）設t=0時，粒子靜止在A板小孔處，在電場作用下加速．求粒子第一次穿過B板時速度的大小v₁；
（2）為使粒子始終保持在半徑為R的圓軌道上運動，磁場必須周期性遞增．求粒子繞行第n圈時磁感應強度的大小B_n；
（3）求粒子繞行n圈所需的總時間t_n總（設極板間距離遠小于R，粒子在A、B極板間運動的時間可忽略不計）．

Answer 1

分析：（1）由題意可知，每加速一次，粒子的能量增加qU，根據動能定理求解粒子第一次穿過B板時速度的大小v₁；
（2）粒子的動能逐漸增加，速度就逐漸增加，由能量可表示出速度，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律即可求出第n圈時的磁感應強度B_n；．
（3）每圈的半徑沒有發生變化，由周長和每圈的速度即可求出每圈的時間，然后相累加，即可求得總時間t_n總．

解答：解：（1）粒子第一次加速過程，根據動能定理得
    qU=

1

2

m

v

2 1

解得，v₁=

2qU m

（2）粒子繞行第n圈時，nqU=

1

2

m

v

2 n

　　　　
粒子受到的洛倫茲力提供向心力，qv_nB_n=m

v 2 n

R

解得：B_n=

1

R

2nmU q

（3）粒子運動的周期表達式為：T_n=

2πR

vn

=

2πm

qBn

　　　　　　　　　　　　　　　　　
粒子繞行第1圈，所用時間為t₁=

2πm

qB1

，B₁=

1

R

2mU q

粒子繞行第2圈，所用時間為t₂=

2πm

qB2

，B₂=

1

R

2×2mU q

粒子繞行第3圈，所用時間為t₃=

2πm

qB3

，B₃=

1

R

2×3mU q

…
以此類推，粒子繞行第n圈，所用時間為　t_n=

2πm

qBn

，B_n=

1

R

2nmU q

　　　
解得：t_n總=t₁+t₂+t₃+…+t_n=2πR

m 2qU

（1+

1

2

+

1

3

…+

1

n

）
答：（1）粒子第一次穿過B板時速度的大小v₁是

2qU m

．
（2）粒子繞行第n圈時磁感應強度的大小B_n是

1

R

2nmU q

．
（3）粒子繞行n圈所需的總時間t_n總是2πR

m 2qU

（1+

1

2

+

1

3

…+

1

n

）．

點評：粒子加速器是利用磁場的偏轉，使電場能重復對粒子加速，粒子在加速器內旋轉時半徑是不變化的，所以粒子加速器所加的磁場時要發生變化．速度越來越大，周期越來越�。�解決此類問題，常用到能量的轉化與守恒、粒子在勻強磁場中的運動半徑和周期公式．