Question

（2010?上海二模）如圖所示，在磁感應強度大小為B的勻強磁場中，兩條足夠長的平行導軌組成一個傾角為53°的斜面框架，磁場方向與導軌所在平面垂直．導軌上端連接一阻值為2R的電阻和電鍵S，導軌電阻不計．兩金屬棒a和b的電阻均為R，質量分別為m_a=0.05kg和m_b=0.02kg，它們與導軌接觸良好，并可沿導軌無摩擦地運動，g取10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6．
（1）若將b棒固定，電鍵S斷開，用一平行斜面向上的恒力F拉a棒，當a棒以v₁=5m/s的速度穩定向上勻速運動．此時再釋放b棒，b棒恰能保持靜止．求拉力F的大小；
（2）若將a棒固定，電鍵S閉合，讓b棒自由下滑，求b棒滑行的最大速度v₂；
（3）若將a棒和b棒都固定，電鍵S斷開，使磁感應強度從B隨時間均勻增加，經0.2s后磁感應強度增大到2B時，a棒所受到的安培力大小正好等于b棒的重力大小，求兩棒間的距離d．

Answer 1

分析：（1）若將b棒固定，電鍵S斷開，a棒作切割磁感線運動，產生感應電動勢，根據ε=BLv₁和歐姆定律求出電路中的電流，即可由F=BIL求出兩棒所受的安培力．兩棒都處于平衡狀態，運用平衡條件分別對兩棒列式，就可以求出拉力F；
（2）若將a棒固定，電鍵S閉合，讓b棒自由下滑，b棒先做加速度減小的加速運動，后做勻速運動，速度達到最大，用上題的方法求出安培力，根據平衡條件列式，即可求出最大速度；
（3）若將a棒和b棒都固定，電鍵S斷開，使磁感應強度從B隨時間均勻增加，回路中產生恒定的感應電動勢，根據法拉第電磁感應定律求出回路中的感應電動勢，由歐姆定律、安培力公式和平衡條件結合，能求出d．

解答：解：（1）a棒作切割磁感線運動，產生感應電動勢：ε=BLv₁
a棒與b棒構成串聯閉合電路，電路中的電流強度為  I=

ε

2R

=

BLv1

2R

a棒、b棒受到的安培力大小相等，均為F_a=F_b=BIL
根據平衡條件得：
  對b棒有：BIL-m_bgsin53°=0
  對a棒有：F-BIL-m_agsin53°=0
聯立解得F=（m_a+m_b）gsin53°=（0.05+0.02）×10×0.8N=0.56N
并得到   

B2L2

R

=0.064
（2）a棒固定、電鍵S閉合后，b棒自由下滑作切割磁感線運動，最終b棒以最大速度v₂勻速運動，此時產生的感應電動勢為：ε₂=BLv₂
a棒與電阻2R并聯，再與b棒串聯構成閉合電路，電流強度為I2=

ε2

2 3 R+R

=

3BLv2

5R

由b棒受力平衡：BI₂L-m_bgsin53°=0
解得B?

3BLv2

5R

?L=m_bgsin53°
代入得 v2=

5R×mbg×0.8

3B2L2

=

25

6

m/s≈4.17m/s
（3）電鍵S斷開后，當磁場均勻變化時，在a、b棒與平行導軌構成的閉合回路內產生的感應電動勢為ε3=

△B?Ld

△t

依題意有：

F

′ a

=2B×

△B×Ld

△t×2R

×L=mbg
解得：d=

mbgR?△t

B2L2

=

0.2×0.2

0.064

m=0.625m
答：
（1）拉力F的大小是0.56N；
（2）b棒滑行的最大速度v₂是4.17m/s．
（3）兩棒間的距離d為0.625m．

點評：本題考查切割產生的感應電動勢與電路、力學知識的結合，在分析中要注意物體運動狀態（勻速或靜止）由平衡條件可得出對應的表達式，從而聯立求解．