Question

2011年9月29日晚9時25分，天宮一號進入近地點h₁約200公里，遠地點h₂為346.9公里，軌道傾角為42.75度，周期5382秒的運行軌道．北京時間9月30日16時09分，在北京航天飛行控制中心精確控制下，天宮一號成功實施第2次軌道控制，近地點高度由200公里抬升至h₃約362公里，順利進入在軌測試軌道．這次軌道控制是在天宮一號飛行第13圈實施的．經過兩次軌道控制，天宮一號已從入軌時的橢圓軌道進入近圓軌道，為后續(xù)進入交會對接軌道奠定了基礎．通過此次軌道抬升，預計可使天宮一號在神舟八號發(fā)射時，軌道高度自然降至h₄約343公里的交會對接軌道，從而盡量減少發(fā)動機開機，節(jié)省燃料．已知地球半徑R，地球表面的重力加速度g．（答案都用字母表示）            
（1）求第二次變軌后的近圓軌道處的重力加速度g′
（2）求在交會對接軌道上運動周期T．

Answer 1

分析：地球表面的重力等于萬有引力，據萬有引力定律，航天器繞地球圓軌道飛行時萬有引力提供向心力，據此列方程可解．

解答：解：（1）根據萬有引力等于重力有
地球表面：

GMm

R2

=mg
離地面h₃高度處：

GMm

(R+h3)2

=mg′
解得g′=

R2

(R+h3)2

g
（2）地球表面的重力等于萬有引力：

GMm

R2

=mg
萬有引力提供向心力：

GMm

(R+h4)2

=m

4π2

T2

(R+h4)
由以上二式解得T=

4π2(R+h4)3 gR2

答：（1）求第二次變軌后的近圓軌道處的重力加速度g′為

R2

(R+h3)2

g
（2）求在交會對接軌道上運動周期T為

4π2(R+h4)3 gR2

．

點評：本題中隱含條件地球表面的重力等于萬有引力，根據萬有引力提供向心力，能寫出萬有引力和向心力的關系就能正常求解．