Question

用質量為M的鐵錘沿水平方向將質量為m、長為l的鐵釘敲入木板，鐵錘每次以相同的速度v₀擊釘，隨即與釘一起運動并使釘進入木板一定距離，在每次受擊進入木板的過程中，釘所受的平均阻力為前一次受擊進入木板過程所受平均阻力的k倍（k>1).

（1）若敲過三次后釘恰好全部進入木板，求第一次進入木板過程中釘所受到的平均阻力；

（2）若第一次敲擊使釘進入木板深度為l₁，問至少敲擊多少次才能使釘全部進入木板？并就你的解答討論要將釘全部敲入木板，l₁必須滿足的條件.

Answer 1

（1）

(2)n=,n為非整數，其取整加1；若恰為整數，則不加1.l₁>(1-)l

解析:

（1）鐵錘每次擊釘的短暫過程動量守恒，則有Mv₀=(M+m)v               ①

其一起運動的初動能

E_k=(M+m)v²=·                                               ②

設第一次進入木板過程中釘所受阻力為F，則第二次、第三次的阻力依次為kF、k²F，三次敲擊后進入木板的深度依次為l₁、l₂和l₃.根據動能定理，有E_k=Fl₁=kFl₂=k²Fl₃        ③

l₂=l₁,l₃=l₁

l₁+l₂+l₃=l                                                                 ④

F==··(1++)=.                     ⑤

（2）設敲n次，釘全部進入木板，同理可得E_k=Fl₁=kFl₂=…=k^n-1Fl_n

l₁(1+++…+)=l                                                  ⑥

=1+++…+=                                           ⑦

n=                                                        ⑧

若上式右邊不是整數，n應為其取整加1；若恰為整數，則不加1.

⑦式右邊隨n增大而增大，但總是小于，因而當l₁太小時，無論多大的n也不能使⑦式成立，故要使釘能全部釘入木板，應有<,即l₁>(1-)l.            ⑨