Question

3．如圖所示，豎直放置的矩形光滑金屬導軌ABCD，每單位長度的電阻為r，處在垂直與軌道平面的勻強磁場中，磁感應強度為B．軌道的AB段平行于CD段，相距為L，BC段水平．有一質量為m、電阻不計的水平金屬桿MN可在導軌上自由滑動，桿與導軌有良好的電接觸．將桿MN從某一高度處由靜止開始釋放后，下滑h高度時速度達到最大值．在此過程中，電路里產生的熱量為Q．以后，若設法讓桿MN保持這個速度勻速下滑，直到離開導軌為止．求：桿在勻速下滑的過程中的速度和導軌中的電流強度隨時間變化的規律．

Answer 1

分析 由能的轉化與守恒求出桿在勻速下滑的過程中的速度；桿勻速下滑受到的重力和安培力平衡，根據受力平衡求出電阻R，電磁感應定律表示出電動勢，由閉合電路的歐姆定律求出電流．

解答 解：設金屬桿MN達到的最大速度為v，由能的轉化和守衡定律得$Q=mgh-\frac{1}{2}m{v^2}$
$v=\sqrt{2（gh-\frac{Q}{m}）}$（1）
此時金屬軌道的電阻為R，金屬桿中產生的感應電動勢為ε，通過的電流為I，則有$ε=BLv=BL\sqrt{2（gh-\frac{Q}{m}）}$（2）
$I=\frac{ε}{R}$（3）
桿MN所受的安培力
F_B=BIL（4）
由平衡條件得mg=BIL（5）
由（2）（3）（4）（5）式聯立求解
得$R=\frac{{{B^2}{L^2}v}}{mg}$（6）
設此時金屬桿MN到BC的距離為x，導軌接入電路的電阻為R=（2x+L）r（7）
（6）（7）式聯立求解得$x=\frac{{{B^2}{L^2}v}}{2mgr}-\frac{L}{2}$（8）
桿MN勻速滑至BC所用的時間$t=\frac{x}{v}=\frac{{{B^2}{L^2}}}{2mgr}-\frac{L}{2v}$（9）
在此時間內ε=BLv
$I'=\frac{ε}{R}=\frac{BLv}{（2x+L-2vt）r}$（10）
將（8）式代入（10）式得$I'=\frac{BLmg}{{{B^2}{L^2}-2mgrt}}$（11）
答：桿在勻速下滑的過程中的速度為$\sqrt{2（gh-\frac{Q}{m}）}$和導軌中的電流強度隨時間變化的規律$I′=\frac{BLmg}{{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}-2mgrt}$．

點評 本是電磁感應中常見的問題：導體在導軌上滑動的類型，從力和能兩個角度研究．力的角度，關鍵是安培力的分析和計算．能的角度要把握涉及幾種能、能量如何是轉化的．