Question

2．如圖（a），半徑為r₁的圓形區域存在垂直紙面向里的勻強磁場B，在垂直于磁場的平面內，阻值為R₂、長為r₂的金屬桿OQ繞端點O轉動，桿的末端Q通過電刷與圓形金屬環保持良好接觸． O點、圓環與一個電路連接，P是加上正向電壓才能導通的理想元件．a、b端點通過導線與水平放置的兩平行金屬板相連．用電壓傳感器（內阻足夠大）測得a、b兩端的電壓U與金屬桿角速度ω的關系如圖（b）所示，ω＞0代表圓盤逆時針轉動．
已知：R₁=3R₂，r₁=0.40m，r₂=0.50m，兩金屬板間距離d=1cm，導線的電阻忽略不計．

（1）根據圖（b）寫出OA、OB段對應U與ω的關系式
（2）求圓形區域內勻強磁場磁感應強度B大小；
（3）若一質量m=1.2×10^-6kg、帶電量q=-1.0×10^-8C的粒子，以初速v₀=4m/s沿兩板正中間水平射入金屬板間，并能沿直線從金屬板右邊穿出，求金屬桿的角速度ω．（設粒子穿越電場過程中金屬桿勻速轉動，重力加速度為g取10m/s²）．

Answer 1

分析 （1）OA段、OB段都是正比例圖象，求解出斜率即可；
（2）當角速度為100rad/s時，電壓為6V，根據切割公式E=BL$\overline{v}$和$\overline{v}$=$ω•\frac{L}{2}$得到E=$\frac{1}{2}B{L}^{2}$ω列式分析；
（3）粒子能沿直線從金屬板右邊穿出，受重力和電場力平衡，得到電場力向上，結合右手定則判斷桿的轉動方向；根據平衡條件和法拉第電磁感應定律列式分析．

解答 解：（1）oa段：U=0.06ω（ω＞0），
ob段：U=0.1ω（ω＜0）；
（2）當OQ順時針旋轉時，P不導通，a、b兩端的電壓等于感應電動勢；由法拉第電磁感應定律：U=$\frac{1}{2}$Br₁²ω
當U=6V時，角速度ω=100rad/s，解得：B=$\frac{2U}{{r}_{1}^{2}ω}$=$\frac{2×6}{0．{4}^{2}×100}$=0.75T；
（3）粒子能沿直線從金屬板右邊穿出，說明其所受電場力方向豎直向上，板間場強方向豎直向下．說明OQ沿逆時針方向旋轉；
粒子所受電場力與重力平衡：Eq=mg，
根據法拉第電磁感應定律，有：Ed=$\frac{1}{2}$Br₁²ω，
聯立解得角速度：ω=200rad/s；
答：
（1）OA段對應U與ω的關系式為U=0.06ω（ω＞0），OB段對應U與ω的關系式為U=0.1ω（ω＜0）；
（2）圓形區域內勻強磁場磁感應強度B大小為0.75T；
（3）金屬桿的角速度ω為200rad/s．

點評 本題是力電綜合問題，關鍵是明確二極管具有單向導電性，桿轉動切割時感應電動勢為E=BL$\overline{v}$，不難．