Question

如下圖所示為某鋼鐵廠的鋼錠傳送裝置，斜坡長為L＝20 m，高為h＝2 m，斜坡上緊排著一排滾筒．長為l＝8 m、質量為m＝1×10³ kg的鋼錠ab放在滾筒上，鋼錠與滾筒間的動摩擦因數為μ＝0.3，工作時由電動機帶動所有滾筒順時針勻速轉動，使鋼錠沿斜坡向上移動，滾筒邊緣的線速度均為v＝4 m/s.假設關閉電動機的瞬時所有滾筒立即停止轉動，鋼錠對滾筒的總壓力近似等于鋼錠的重力．取當地的重力加速度g＝10 m/s².試求：

 (1)鋼錠從坡底(如上圖示位置)由靜止開始運動，直到b端到達坡頂所需的最短時間；

(2)鋼錠從坡底(如上圖示位置)由靜止開始運動，直到b端到達坡頂的過程中電動機至少要工作多長時間？

Answer 1

解析：　(1)鋼錠開始受到的滑動摩擦力為

F_f＝μmg＝3×10³ N

由牛頓第二定律有F_f－mgsin α＝ma₁

解得a₁＝2 m/s²

鋼錠做勻加速運動的時間t₁＝＝2 s

位移x₁＝a₁t₁²＝4 m

要使b端到達坡頂所需要的時間最短，需要電動機一直工作，鋼錠先做勻加速直線運動，當它的速度等于滾筒邊緣的線速度后，做勻速直線運動．

鋼錠做勻速直線運動的位移x₂＝L－l－x₁＝8 m

做勻速直線運動的時間t₂＝＝2 s

所需最短時間t＝t₁＋t₂＝4 s.

(2)要使電動機工作的時間最短，鋼錠的最后一段運動要關閉電動機，鋼錠勻減速上升，b端到達坡頂時速度剛好為零．

勻減速上升時F_f＋mgsin α＝ma₂

解得a₂＝4 m/s²

勻減速運動時間t₃＝＝1 s

勻減速運動位移x₃＝t₃＝2 m

勻速運動的位移x₄＝L－l－x₁－x₃＝6 m

電動機至少要工作的時間t＝t₁＋＝3.5 s.

答案：　(1)4 s　(2)3.5 s