Question

質量均為m的小球B與小球C之間用一根輕質彈簧連接．現把它們放置在豎直固定的內壁光滑的直圓筒內，平衡時彈簧的壓縮量為x₀，如圖所示，設彈簧的彈性勢能與彈簧的形變量（即伸長量或縮短量）的平方成正比．小球A從小球B的正上方距離為3x₀的P處自由落下，落在小球B上立刻與小球B粘連在一起向下運動，它們到達最低點后又向上運動，已知小球A的質量也為m時，它們恰能回到O點（設3個小球直徑相等，且遠小于x₀，略小于直圓筒內徑），求：
（1）整個系統在上述過程中機械能是否守恒；
（2）求彈簧初始時刻的彈性勢能；
（3）小球A與小球B一起向下運動時速度的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據系統機械能守恒的條件判斷在各個過程中是否守恒即可；
（2）彈簧從原長壓縮到x₀的過程中，彈簧力與位移成線性關系，求出克服彈簧力的功，最大彈力等于物體的重力，且克服彈簧力的功等于彈簧增加的彈性勢能，所以，彈簧被壓縮后即初始時刻的彈性勢能；
（3）當彈簧的彈力等于A、B兩球的總重力時，小球A、B的速度最大，根據力的平衡求出兩球下降的距離，再對系統運用機械能守恒定律，求出最大速度．

解答：解：（1）整個系統在A下落到與B碰撞前，只有重力做功，機械能守恒；AB碰撞過程中，系統機械能不守恒；AB碰撞后至回到O點過程中，機械能守恒．
（2）彈簧從原長壓縮到x₀的過程中，彈簧力與位移成線性關系，所以，克服彈簧力的功可以由平均力求出：W=

Fm

2

x0
最大彈力等于物體的重力，且克服彈簧力的功等于彈簧增加的彈性勢能，所以，彈簧被壓縮后即廚師時刻的彈性勢能E_p=W=

1

2

mgx0
（3）小球B處于平衡狀態時．有（設k為彈簧的勁度系數）  kx₀=mg
則小球A與小球B一起向下運動到所受彈力kx與重力2mg平衡時
有速度最大值v_m，即kx=2mg    x=2x₀    
故此時彈簧的彈性勢能為4E_P        
由能量守恒得：
E_p+

1

2

（2m）

v

2 1

+2mgx₀=

1

2

(2m)

v

2 m

+4E_p
所以：v_m=

2gx0

答：（1）不守恒．小球A自由落下過程，機械能守恒；小球A與小球B碰撞過程機械能有損失；一起向下運動，到達最低點后又向上運動，機械能守恒．
（2）彈簧初始時刻的彈性勢能為

1

2

mgx0
（3）小球A與小球B一起向下運動時速度的最大值為

2gx0

點評：本題綜合運用了動能定理，動量守恒定律、機械能守恒定律，綜合性較強，關鍵是選擇好研究的過程，運用合適的規律列式求解．