Question

2．如圖所示，兩個半徑均為R的光滑閱弧形軌道，豎直放置，圓心在同一高度，一傾角為37°的固定斜面與兩圓弧軌道相切于C、D（斜面與左側圓弧軌道的縫隙可以忽略不計），一質量為m的物塊（可看成質點）放在光滑水平面的A點，左側圓弧軌道與水平軌道相切．
（1）若斜面是光滑的，要使物塊能到達E點，則物塊在A點的初速度至少多大？
（2）若物塊與斜面的動摩擦因數為μ=0.3，則要使物塊能到達E點，在A點的初速度至少多大？

Answer 1

分析 （1）物塊剛好到達E點時由重力提供向心力，由牛頓第二定律求出E的最小速度，再由機械能守恒定律求出初速度．
（2）明確幾何關系，分析物理過程，運用動能定理求A點的初速度最小值．

解答 解：（1）物塊剛好到達E點時由重力提供向心力，由牛頓第二定律得：
mg=m$\frac{{v}_{E}^{2}}{R}$，
得：v_E=$\sqrt{gR}$
從A到E，由機械能守恒定律得：
$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=2mgR+$\frac{1}{2}m{v}_{E}^{2}$
聯立解得：v₀=$\sqrt{5gR}$
（2）斜面CD的長度為：S=$\frac{2Rcos37°}{sin37°}$=$\frac{8}{3}$R
根據動能定理得：$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{′2}$=2mgR+$\frac{1}{2}m{v}_{E}^{2}$+μmgScos37°
解得 ${v}_{0}^{′}$=$\sqrt{6.28gR}$
答：（1）物塊在A點的初速度至少為$\sqrt{5gR}$．
（2）物塊在A點的初速度至少為$\sqrt{6.28gR}$．

點評 本題的關鍵要掌握豎直平面內圓周運動最高點的臨界條件：重力提供向心力，與繩子模型類似，同時注意對全過程的分析，明確動能定理的正確應用即可求解．