Question

410年前，意大利的比薩大學年輕教授伽利略通過落體實驗發現了“自由落體定律”H=gt²/2①，同時伽利略還創立了加速度的概念，提出自由落體的速度滿足關系式v=gt②。①②兩式結合，即可得出mgH=mg²t²/2=mv²/2，即E_p=E_K③。

后來人們由此得出了重力勢能E_P（今天所說的重力勢能）轉換為動能E_K的規律。離如今的41年前，有人根據愛因斯坦的思想，用光子作“落體”，在塔上做豎直下“拋”實驗，發現在重力場中運動著的光子同樣遵循③。

（1）已知光子的質量m=E_K/c²=hγ/c²，如果從高度為H的塔頂豎直向下發射的光子頻率為γ₀，那么當光子到達塔底時，其頻率γ變為多少？在此過程中，光子的顏色是向紅端移動還是向紫端移動？

（2）如果從質量為M、半徑為R的天體表面沿徑向向外輻射出頻率為γ₀的光子，那么該光子到達無窮遠處時頻率變為多少？（提示：以無窮遠處為零勢能點，質量為m的質點在上述天體表面的引力勢能為E_P=-GMm/R）

（3）如果定義上述天體由萬有引力造成的光子頻率的紅移量，那么請寫出天體質量與半徑的比（M/R）跟引力紅移（z）的關系式。

（4）已知太陽的引力紅移z_日=2×10^-6，半徑為R_日；天狼星的伴星（一顆白矮星）的引力紅移z=3×10^-4，半徑為R=0.0073R_日。求這顆星的密度是太陽密度的多少倍？（要求小數點后僅保留一位有效數字）。

Answer 1

(1)  光子的顏色向紫端移動(2)  (3)  (4)

解析:

（1）以塔底為零勢面，根據能量守恒有：和

所以    

因為，所以光子的顏色向紫端移動。

（2）以無窮遠為零勢面，仍由能量守恒，

得：和

兩式整理可求得：

（3）通過對

和

兩式整理可求得：

（4）因為Z_日《Z《1，所以