Question

如圖所示是建筑工地常用的一種“深穴打夯機”。工作時，電動機帶動兩個緊壓夯桿的滾輪勻速轉動將夯桿從深為h的坑中提上來，當兩個滾輪彼此分開時，夯桿被釋放，最后夯在自身重力作用下，落回深坑，夯實坑底。然后兩個滾輪再次壓緊，夯桿再次被提上來，如此周而復始工作。已知兩個滾輪邊緣線速度v恒為4 m/s，每個滾輪對夯桿的正壓力F_n=2×10⁴，滾輪與夯桿間的動摩擦因數μ=0.3，夯桿質量m=1×10³ kg，坑深h=6.4 m。假定在打夯的過程中坑的深度變化及夯與坑底的作用時間均忽略不計，且夯桿底端升到坑口時，速度恰好為零。取g=10 m/s²，求：

（1）夯桿上升過程中被滾輪釋放時的速度為多大？此時夯桿底端離坑底多高？

（2）每個打夯周期中，電動機對夯桿所做的功？

（3）打夯周期是多少？

Answer 1

解：（1）f₁=2μF_N=1.2×10⁴ N;

a₁==2 m/s²

當夯桿與滾輪相對靜止時：v=a₁t₁=4 m/s，t₁=2 s,

h₁=a₁t²₁=4 m

當夯桿以v=4 m/s的初速度豎直上拋，上升高度為：

h₂==0.8 m

則當夯桿加速向上運動速度到達v=4 m/s后，夯桿勻速上升，勻速上升高度為：

h₃=h-h₁-h₂=1.6 m

因此，夯桿先勻加速上升，后勻速上升，再豎直上拋。

故夯桿上升過程中被滾輪釋放時的速度為4 m/s；

此時夯桿底端離坑底高度Δh=h-h₂=5.6 m。

（2）W=mgh=6.4×10⁴ J。

（3）夯桿豎直上拋運動的時間為：t₂==0.4 s

夯桿勻速上升的時間為：t₃==0.4 s

夯桿自由落體的時間為：h=gt₄²,t₄==1.13 s

故打夯周期為：T=t₁+t₂+t₃+t₄=3.93 s。