Question

8．某天體的表面無大氣層，其質量為地球質量的2倍，其半徑為地球半徑的2倍．已知地球表面附近的重力加速度為g=10m/s²，地球的第一宇宙速度為v=8×10³m/s，求：
（1）該天體表面附近的重力加速度g′．
（2）靠近該天體表面運行的人造衛星的運行速度v′．
（3）在該天體表面以15m/s初速豎直上拋一個小球，小球在上升過程的最末1s內的位移x．
（4）在距該天體表面高h=20m處，以v₀=5m/s初速斜向上拋出y一個小球，小球落到該天體表面時速度v″．

Answer 1

分析 （1）在星球表面，重力等于萬有引力，據此列式求解重力加速度；
（2）靠近該天體表面運行的人造衛星，重力等于向心力，根據牛頓第二定律列式求解速度；
（3）豎直上拋運動是勻變速直線運動，根據速度公式列式求解運動總時間，根據位移公式列式求解最末1s內的位移x；
（4）根據動能定理列式求解末速度．

解答 解：（1）星球表面，重力等于萬有引力，在地球表面：mg=$G\frac{Mm}{R^2}$，
在天體表面：mg′=$G\frac{2Mm}{{{{（2R）}^2}}}$，
聯立解得：g′=$\frac{g}{2}$=5m/s²；
（2）靠近該天體表面運行的人造衛星，重力等于向心力，故：$mg′=m\frac{{v′}^{2}}{2R}$，
對地球表面的人造衛星，重力等于向心力，故：$mg=m\frac{{v}^{2}}{R}$，
故$\frac{v′}{v}=\sqrt{\frac{g′•2R}{g•R}}=\sqrt{\frac{\frac{g}{2}•2R}{g•R}}=1$，
故v′=v=8×10³m/s；
（3）在該天體表面以v₀=15m/s初速豎直上拋一個小球，加速度為-g′=-5m/s²，故運動的總時間為：t=$\frac{（-{v}_{0}）-{v}_{0}}{-g′}$=$\frac{（-15）-15}{-5}=6s$；
根據位移公式，前5s位移為：${x}_{前5s}={v}_{0}{t}_{5}-\frac{1}{2}g′{t}_{5}^{2}=15×5-\frac{1}{2}×5×{5}^{2}$=12.5m；
由于6s末落地，故第6s位移大小為12.5m，向下；
（4）對斜拋運動，根據動能定理，有：
mg′h=$\frac{1}{2}mv{″}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$，
解得：v″=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+2g′h}$=$\sqrt{{5}^{2}+2×5×20}$=15m/s；
答：（1）該天體表面附近的重力加速度g′為5m/s²．
（2）靠近該天體表面運行的人造衛星的運行速度v′為8×10³m/s．
（3）在該天體表面以15m/s初速豎直上拋一個小球，小球在上升過程的最末1s內的位移x為12.5m，向下．
（4）在距該天體表面高h=20m處，以v₀=5m/s初速斜向上拋出一個小球，小球落到該天體表面時速度v″為15m/s．

點評 本題關鍵是根據萬有引力定律列式求解星球表面重力加速度，利用衛星的萬有引力提供向心力列式求解第一宇宙速度，對斜拋運動，只有重力做功，可以根據機械能守恒定律列式，也可以根據動能定理列式．