Question

如圖甲所示，，在坐標系xoy平面內的第一象限，有一勻強磁場和豎直向下的勻強電場（圖中未畫出）．電場強度大小E=0.5N/s，磁感應強度大小恒為B=5T，方向垂直xoy平面，且隨時間做周期相變化，變化規律如圖乙所示，規定垂直xoy 平面向里為磁場的正方向．一質量為m=0.4kg，電荷量q=-8C的帶點小球，以初速度v₀=5m/s從y軸上的P點沿x軸正方向開始運動．已知P點到原點O的距離H=8cm，不計磁場變化可能產生的一切其他影響，g=10m/s²．
（1）求小球離開第一象限時的位置坐標
（2）如果在小球離x軸的高度下降h=3cm后撤去電場，求小球到達x軸時的速率（可用根號表示）．

Answer 1

分析：（1）分析小球的分析情況和運動情況：求出小球所受的重力、電場力和洛倫茲力．根據計算，重力與電場力平衡，帶電小球由洛倫茲力提供向心力做勻速圓周運動，根據牛頓第二定律求出半徑，由幾何知識求出小球離開第一象限時的位置坐標．
（2）在小球離x軸的高度下降h=3cm后撤去電場，只有重力對小球做功，其機械能守恒，求出小球到達x軸時的速率．

解答：解：（1）小球所受重力G=mg=0.4×10N=4N，方向豎直向下，電場力F=qE=4N，方向豎直向上，則小球做勻速圓周運動．
則qv₀B=m

v 2 0

R

，得，R=

mv0

qB

代入解得，R=5cm
小球圓周運動的周期T=

2πm

qB

=2π×10^-2s，小球圓周運動的周期等于磁場感應強度變化的周期，則小球的運動軌跡如圖．
圖中，y=H-R=3cm，sinθ=

y

R

=

3

5

，cosθ=

4

5

小球離開第一象限時的位置橫坐標x=R+R（1-cosθ）=6cm
所以小球離開第一象限時的位置坐標為（6cm，0）
（2）在小球離x軸的高度下降h=3cm后撤去電場，小球受到重力和洛倫茲力作用，洛倫茲力不做功，由機械能守恒得
   mg（H-h）=

1

2

mv2-

1

2

m

v

2 0

代入解得，v=

26

m/s
答：
（1）小球離開第一象限時的位置坐標為（6cm，0）．
（2）如果在小球離x軸的高度下降h=3cm后撤去電場，小球到達x軸時的速率為

26

m/s．

點評：本題的關鍵在于分析小球的受力情況和運動情況，要通過定量計算來分析三個場力的關系，判斷小球的運動情況．