Question

如圖，水平地面和半圓軌道面均光滑，質量M=1kg的小車靜止在地面上，小車上表面與t1=

R

υ 2

=

2 3 m

3qB

m的半圓軌道最低點P的切線相平．現有一質量m=2kg的滑塊（可視為質點）以t2=

3 R? π 3

υ

=

πm

3qB

=6m/s的初速度滑上小車左端，二者共速時小車還未與墻壁碰撞，當小車與墻壁碰撞時即被粘在墻壁上，已知滑塊與小車表面的滑動摩擦因數μ=0.2，g取10m/s²．
（1）求小車的最小長度．
（2）討論小車的長度L在什么范圍，滑塊能滑上P點且在圓軌道運動時不脫離圓軌道？

Answer 1

分析：（1）滑塊在小車滑行過程，系統所受的合外力為零，動量守恒，可求出共同速度．小車的長度與系統產生的內能有關．當兩者速度相同滑塊剛好滑到小車的右端時，小車的長度最短，根據能量守恒求解最小長度；
（2）滑塊不脫離圓軌道可能從Q點離開軌道，也可能滑到T點，根據動能定理結合上題的結果可求出L的范圍．

解答：解：（1）設滑塊與小車的共同速度為v₁，滑塊與小車相對運動過程中動量守恒，有：
mυ₀=（m+M）υ₁
代入數據解得：υ₁=4m/s
設小車的最小長度為L₁，由系統能量守恒定律，有：
μmgL 1=

1

2

mυ 0 2-

1

2

(m+M)υ1 2
代入數據解得：L₁=3m
（2）設小車與墻壁碰撞時，滑塊與P點的距離為L₂，若滑塊恰能滑過圓的最高點，
設滑至最高點的速度為v，臨界條件為：mg=m

υ 2

R

…①
根據動能定理，有：-μmgL 2-mg?2R=

1

2

mυ 2-

1

2

mυ 1 2…②
①②聯立并代入數據解得：L₂=1m   
這種情況下小車的長度為：L=L₁+L₂=4m
若滑塊恰好滑至

1

4

圓弧到達T點時就停止，則滑塊也能沿圓軌道運動而不脫離圓軌道．
根據動能定理，有：-μmgL 2-mg?R=0-

1

2

mυ 1 2
代入數據解得：L₂=2.8m        
這種情況下小車的長度為：L=L₁+L₂=5.8m
若滑塊滑至P點時速度恰好為零，由動能定理，有：-μmgL2=0-

1

2

m

υ

2 1

解得：L₂=4m     
這種情況下小車的長度為：L=L₁+L₂=7m
綜上所述，滑塊能沿圓軌道運動而不脫離圓軌道，半圓軌道的半徑必須滿足：3m≤L≤4m或5.8m≤L＜7m        
答：（1）小車的最小長度為3m；
（2）小車的長度L在3m≤L≤4m或3m≤L≤5.8m范圍，滑塊能滑上P點且在圓軌道運動時不脫離圓軌道．

點評：當遇到相互作用的問題時要想到運用動量守恒定律并結合能量守恒定律求解，當遇到豎直面內圓周運動問題時注意臨界速度的求法．該題還要注意對滑塊能沿圓軌道運動而不脫離圓軌道的情景分析．