Question

3．某運動員做跳傘訓練，他從懸停在空中的直升飛機上由靜止跳下，做自由落體運動，跳離飛機一段時間后打開降落傘做減速下落，然后做勻速運動落到地面，他打開降落傘的速度圖線如圖a．降落傘用8根對稱的繩懸掛運動員，每根繩與中軸線的夾角均為37°，如圖b．已知他打開降落傘落到地面所用時間為t=20s，人的質量為m₁=60kg，降落傘質量為m₂=10kg，不計人所受的阻力，打開傘后所受阻力f與速度v成正比，即f=kv（g取10m/s²，sin37²=0.6，cos37°=0.8），求：
（1）阻力系數k和打開傘瞬間的加速度a的大小和方向？
（2）懸繩能夠承受的拉力至少為多少？
（3）人下落的距離為多大？

Answer 1

分析 （1）抓住平衡，根據kv=（m₁+m₂）g求出阻力系數，根據牛頓第二定律求出加速度的大小；
（2）對人分析，根據牛頓第二定律求出拉力的大小；
（3）根據速度位移公式求出打開降落傘前人下落的高度，然后根據運動學公式和牛頓第二定律求出打開降落傘后人做變加速運動下落的高度，二者相加即為人下落的距離．

解答 解：（1）由圖a可知，當速度v=5m/s時，物體做勻速運動，受力平衡，
則有：kv=（m₁+m₂）g，
k=$\frac{（{m}_{1}+{m}_{2}）g}{v}$=140N•s/m．
打開傘瞬間對整體，根據牛頓第二定律可得，
kv₀-（m₁+m₂）g=（m₁+m₂）a
解得：a=$\frac{k{v}_{0}}{{m}_{1}+{m}_{2}}$-g=30m/s²，方向豎直向上．
（2）設每根繩拉力為T，以運動員為研究對象，根據牛頓第二定律可得，
則有：8Tcos37°-m₁g=m₁a，
解得：T=$\frac{{m}_{1}（g+a）}{8cos37°}$=375N，
由牛頓第三定律得，懸繩能承受的拉力為至少為375N．
（3）由v-t圖知，人打開降落傘時速度v₀=20m/s，
則打開降落傘前人下落的距離為：
h₀=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2g}$=20m，
設人和傘的總質量為m，打開降落傘后人做變加速運動，任意取無限小的一段時間△t，
則有：△h=v△t------①
又因為v=$\frac{f}{k}$------②
根據牛頓第二定律可得，
mg-f=ma------③
聯立①②③可解得：△h=$\frac{mg-ma}{k}$△t，
由于a△t=△v，
則有：△h=$\frac{mg}{k}$△t-$\frac{m}{k}$△v，
兩邊求和：h₁=$\frac{mg}{k}$t-$\frac{m}{k}$[（v₁-v₀）+（v₂-v₁）+…+（v_n-v_n-1）]，
解得：h₁=107.5m，
則人下落的距離h=h₀+h₁=127.5m．
答：（1）阻力系數k為140N•s/m；打開傘瞬間的加速度a的大小為30m/s²，方向豎直向上；
（2）懸繩能夠承受的拉力至少為375N；
（3）人下落的距離為127.5m．

點評 本題考查了共點力平衡和牛頓第二定律的基本運用，關鍵合理地選擇研究的對象，通過圖象能夠得出人和降落傘的運動規律，運用牛頓第二定律即可進行求解，難度不大．