Question

隨著我國綜合國力的提高，近年我國的高速公路網發展迅猛．在高速公路轉彎處，采用外高內低的斜坡式彎道，可使車輛通過彎道時不必大幅減速，從而提高通過能力且節約燃料．若某處這樣的彎道為半徑r=100m的水平圓弧，其橫截面如圖所示．tanθ=0.4，取g=10m/s²，

11.25

=3.36．
（1）求最佳通過速度，即不出現側向摩擦力的速度
（2）若側向動摩擦因數μ=0.5，且最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，求最大通過速度．

Answer 1

分析：（1）車輛以最佳速度通過彎道時，由重力和路面的支持力的合力提供向心力，根據牛頓第二定律和向心力公式求解．
（2）汽車轉彎時，靜摩擦力沿斜面向下達到最大時，速度最大，再根據牛頓第二定律可求出汽車轉彎的最大車速；

解答：解：（1）車輛以最佳速度通過彎道時，由重力和路面的支持力的合力提供向心力，根據牛頓第二定律得：
mgtanθ=m

v2

r

，
得：v=

grtanθ

=

10×100×0.4

m/s=20m/s=72km/h．
（2）當以最大速度轉彎時，最大靜摩擦力沿斜面向下，此時根據牛頓第二定律，車在豎直方向平衡，有：Ncosθ=mg+fsinθ  
車在水平方向有：Nsinθ+fcosθ=m

v 2 m

r

又 f_m=μN
以上三式解得：v_m=

(sinθ+μcosθ)gr cosθ-μsinθ

=

(tanθ+μ)gr 1-μtanθ

=33.6 m/s=121 km/h．
由此解得最大速度為：v_m=m/s．故汽車不出現側向摩擦力的速度為m/s，
答：（1）最佳通過速度，即不出現側向摩擦力的速度為20m/s．
（2）最大通過速度為121 km/h

點評：熟記摩擦力公式和向心力公式是解決本題的關鍵，弄清向心力是由哪些力提供的，通常這樣找向心力：沿半徑方向的所有力的合力提供該物體做圓周運動的向心力．