Question

2．設想某載人飛船繞一類地行星做勻速圓周運動，其軌道半徑可視為該行星半徑R，載人飛船運動周期為T，該行星表面的重力加速度為g，引力常量為G，則（　�。�

• A． 飛船的速度是繞行星做圓周運動的最大速度
• B． 該行星的平均密度可表示為$\frac{3π}{4GT^2}$
• C． 該行星的平均密度可表示為$\frac{3g}{4πGR}$
• D． 飛船做圓周運動的半徑增大，其運動周期將減小

Answer 1

分析 根據飛船受到的萬有引力等于飛船需要的向心力，以及根據星球表面重力等于萬有引力，可列式求解；

解答 解：A、飛船繞行星附近作勻速圓周運動
    $G\frac{M{m}^{′}′}{{R}^{2}}={m}^{′}′\frac{{v}^{2}}{R}$
解得
  $v=\sqrt{\frac{GM}{R}}$，飛船的速度隨環繞半徑的增大而減小，可知飛船的軌道半徑可視為該行星半徑R時，飛船的速度是繞行星做圓周運動的最大速度．故A正確；
B、行星對飛船的萬有引力提供飛船所需向心力
       $G\frac{Mm}{r^2}=m{（\frac{2π}{T}）^2}r$
解得
      $M=\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$
又：M=ρV=$ρ•\frac{4}{3}π{R}^{3}$
所以該行星的平均密度可表示為$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}}{\frac{4π{R}^{3}}{3}}=\frac{3π}{G{T}^{2}}$．故B錯誤；
C、重力等于萬有引力
      $m′g=\frac{GMm′}{{R}^{2}}$
解得：M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$
所以該行星的平均密度可表示為：$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{g{R}^{2}}{G}}{\frac{4π{R}^{3}}{3}}=\frac{3g}{4πGR}$．故C正確；
D、行星對飛船的萬有引力提供飛船所需向心力
       $G\frac{Mm}{r^2}=m{（\frac{2π}{T}）^2}r$
解得：T=$2π\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$，可知飛船做圓周運動的半徑增大，其運動周期將增大．故D錯誤
故選：AC

點評 該題考查萬有引力定律的一般應用，解答本題關鍵抓住星球表面重力等于萬有引力，飛船的萬有引力等于向心力．